Dik koordinat düzleminde, f(x) parabolünün tepe noktası T(3, 1)'dir. a ve b pozitif gerçel… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $f(x)$ parabolünün tepe noktası $T(3, 1)$ 'dir. $a$ ve $b$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $f(x)$ parabolünün grafiği;

* $x$ -ekseni boyunca pozitif yönde $a$ birim, $y$ -ekseni boyunca pozitif yönde $b$ birim ötelendiğinde $f_1(x)$ parabolü,
* $x$ -ekseni boyunca pozitif yönde $b$ birim, $y$ -ekseni boyunca negatif yönde $a$ birim ötelendiğinde $f_2(x)$ parabolü,
* $x$ -ekseni boyunca negatif yönde $a$ birim, $y$ -ekseni boyunca negatif yönde $b$ birim ötelendiğinde $f_3(x)$ parabolü,
* $x$ -ekseni boyunca negatif yönde $b$ birim, $y$ -ekseni boyunca pozitif yönde $a$ birim ötelendiğinde $f_4(x)$ parabolü

elde ediliyor.

Bu dört parabolün tepe noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanı $52$ birimkaredir.

$f_1(x)$ parabolünün tepe noktası $y = 2x - 2$ doğrusu üzerinde olduğuna göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

A
2
B
3
C
4
5Cevap
E
6

Cevap

Çarpımın değeri 5 olmalıdır.

Doğru öteleme adımları izlendiğinde

T_1(3+a, 1+b)

noktası elde edilir. Bu noktanın doğru üzerindeki yerleşimi ile

b = 2a + 3

bağıntısı bulunur. Köşelerin oluşturduğu karenin alanı

2(a^2 + b^2) = 52

olduğundan

a^2 + b^2 = 26

denklemi çözülerek

a=1

b=5

değerlerine ulaşılır. Bu iki sayının çarpımı 5 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

Öteleme kurallarına göre yeni tepe noktalarını yazma

T_1(3+a, 1+b)

T_2(3+b, 1-a)

T_3(3-a, 1-b)

T_4(3-b, 1+a)

koordinatları elde edilir.

Fonksiyonların yatay ötelemesinde sağa öteleme apsise eklenirken sola öteleme apsisten çıkarılır. Dikey ötelemede yukarı öteleme ordinata eklenirken aşağı öteleme ordinatten çıkarılır.

Tepe noktalarının oluşturduğu dörtgenin geometrik türünü belirleme ve alan bağıntısını kurma

Dörtgenin köşeleri olan noktalar, merkezi

T(3,1)

olan ve kenar uzunluğu

\sqrt{2(a^2 + b^2)}

birim olan bir karedir. Karenin alanı

\text{Alan} = 2(a^2 + b^2) = 52 \implies a^2 + b^2 = 26

olarak bulunur.

Karşılıklı ve komşu tepe noktaları arasındaki uzaklıkların eşitliği ve köşegenlerin birbirine dik olması, bu şeklin bir kare olduğunu gösterir.

T_1

noktasının doğru denklemini sağlama koşulunu uygulama

1 + b = 2(3 + a) - 2 \implies b = 2a + 3

bağıntısı elde edilir.

T_1(3+a, 1+b)

noktası

y = 2x - 2

doğrusu üzerinde yer aldığından koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.

Elde edilen denklem sistemini çözme

a^2 + (2a + 3)^2 = 26 \implies 5a^2 + 12a - 17 = 0

denkleminin pozitif kökü

a = 1

olarak bulunur. Buradan

b = 5

elde edilir.

a

b

değerleri pozitif gerçel sayılar olmak zorundadır.

a \cdot b

çarpımını hesaplama

a \cdot b = 1 \cdot 5 = 5

bulunur.

Soruda bizden istenen çarpım değerine ulaşmaktır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay ve dikey öteleme kurallarının koordinat düzleminde noktaların taşınmasına uygulanması ve geometrik yorumu.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru