n bir doğal sayı olmak üzere, \binom{n}{n-2} + \binom{n+1}{n-1} = 36 \neşitliğini sağlayan… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$n$ bir doğal sayı olmak üzere,

\binom{n}{n-2} + \binom{n+1}{n-1} = 36

eşitliğini sağlayan

n

değeri kaçtır?

Cevap: 6

Verilen eşitliği sağlayan

n

doğal sayısı 6'dır.

Simetri özelliği ile sadeleştirilen kombinasyon ifadeleri açıldığında

n^2 = 36

denklemine ulaşılır. Buradan

n

değeri 6 olarak bulunur.

Kombinasyonun simetri özelliğini uygulama

\binom{n}{2} + \binom{n+1}{2} = 36

denklemi elde edilir.

\binom{x}{y} = \binom{x}{x-y}

özelliği kullanılarak

\binom{n}{n-2} = \binom{n}{2}

\binom{n+1}{n-1} = \binom{n+1}{2}

şeklinde sadeleştirme yapılır.

Kombinasyon formüllerini yerine yazma

\frac{n(n-1)}{2} + \frac{(n+1)n}{2} = 36

ifadesi elde edilir.

\binom{x}{2} = \frac{x(x-1)}{2}

açılımı her iki terim için de uygulanır.

Cebirsel sadeleştirme yapma ve denklemi çözme

n^2 = 36

ve buradan

n = 6

elde edilir.

Pay kısımları açılıp toplandığında

n^2 - n + n^2 + n = 2n^2

olur.

2

ile sadeleşince

n^2 = 36

kalır.

n

doğal sayı olduğundan pozitif kök olan

6

seçilir.

Kombinasyonun özellikleri ve formül uygulamaları

Tahmini Süre:1m 30s

Soru