Sürtünmesi ihmal edilen bir ortamda, denge noktası O olan bir eksen üzerinde R genliğiyle … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Sürtünmesi ihmal edilen bir ortamda, denge noktası $O$ olan bir eksen üzerinde $R$ genliğiyle salınım hareketi gerçekleştiren bir parçacık, $t = 0$ anında denge noktasından $+x$ yönünde geçmektedir.

Parçacığın periyodu $T$ olduğuna göre; aşağıda belirtilen anlardaki anlık hız büyüklüklerini ( $v_1$ , $v_2$ ve $v_3$ ) en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

1 $v_3$ ( $t_3 = \frac{5T}{6}$ anındaki hız büyüklüğü)
2 $v_2$ ( $t_2 = \frac{3T}{8}$ anındaki hız büyüklüğü)
3 $v_1$ ( $t_1 = \frac{T}{12}$ anındaki hız büyüklüğü)

Cevap

Hız büyüklükleri en küçükten en büyüğe doğru

v_3

v_2

v_1

şeklinde sıralanır.

Parçacığın hız fonksiyonunun zamana bağlı değişimi

v(t) = v_{\text{max}} \cos(\frac{2\pi}{T} t)

şeklindedir. Verilen zaman anları fonksiyonda yerine konulduğunda elde edilen hız büyüklükleri sırasıyla

v_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} v_{\text{max}} \approx 0,866 v_{\text{max}}

v_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} v_{\text{max}} \approx 0,707 v_{\text{max}}

v_3 = 0,5 v_{\text{max}}

olur. Bu büyüklükler karşılaştırıldığında en küçük hızın üçüncü durumda, en büyük hızın ise birinci durumda olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

Parçacığın başlangıç koşullarını belirleyerek zamana bağlı hız fonksiyonunu yazın.

v(t) = v_{\text{max}} \cos(\omega t)

Parçacık

t = 0

anında denge konumundan (

x = 0

) geçtiği için uzanım denklemi

x(t) = R \sin(\omega t)

olur. Hız, uzanımın zamana göre türevi olduğundan hız fonksiyonu

v(t) = \omega R \cos(\omega t) = v_{\text{max}} \cos(\omega t)

şeklinde yazılır.

Her bir zaman anı için faz açısını hesaplayın.

t_1

için

\theta_1 = 30^\circ

t_2

için

\theta_2 = 135^\circ

t_3

için

\theta_3 = 300^\circ

Açısal frekans

\omega = \frac{2\pi}{T}

ifadesi kullanılarak faz açısı

\theta = \omega t = \frac{2\pi}{T} t

formülüyle bulunur.

t_1 = \frac{T}{12}

için

\theta_1 = \frac{\pi}{6}

(

30^\circ

);

t_2 = \frac{3T}{8}

için

\theta_2 = \frac{3\pi}{4}

(

135^\circ

);

t_3 = \frac{5T}{6}

için

\theta_3 = \frac{5\pi}{3}

(

300^\circ

) elde edilir.

Hesaplanan faz açılarındaki hız büyüklüklerini bulun.

v_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} v_{\text{max}}

v_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} v_{\text{max}}

v_3 = 0,5 v_{\text{max}}

Hız büyüklükleri için fonksiyonun mutlak değeri alınır:

|v(t)| = v_{\text{max}} |\cos(\theta)|

. İlgili açılar için trigonometrik değerler yerine yazıldığında;

v_1 = v_{\text{max}} \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} v_{\text{max}} \approx 0,866 v_{\text{max}}

v_2 = v_{\text{max}} |\cos(135^\circ)| = \frac{\sqrt{2}}{2} v_{\text{max}} \approx 0,707 v_{\text{max}}

v_3 = v_{\text{max}} \cos(300^\circ) = 0,5 v_{\text{max}}

bulunur.

Elde edilen hız büyüklüklerini karşılaştırarak küçükten büyüğe sıralayın.

v_3 < v_2 < v_1

0,5 < 0,707 < 0,866

olduğu için hız büyüklükleri arasındaki ilişki

v_3 < v_2 < v_1

biçimindedir.

Anahtar Kavram

Basit harmonik harekette hızın zamana göre değişimi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru