Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorUzanım, Hız ve İvmenin Zamana Göre Değişimi

Sürtünmesiz yatay düzlemde, denge konumu OO noktası olan ve +x+x yönü sağa doğru tanımlanmış bir koordinat ekseni üzerinde basit harmonik hareket yapan bir cismin periyodu TT, genliği ise RR'dir.

Cismin hareketi sırasında gerçekleşen üç farklı durum aşağıda tanımlanmıştır:

I. Durum: Cismin uzanımının x=−32Rx = -\frac{\sqrt{3}}{2}R olduğu ve denge konumundan uzaklaşmakta olduğu an (vIv_I)
II. Durum: Cismin denge konumundan +x+x yönünde geçtikten T12\frac{T}{12} süre sonraki anı (vIIv_{II})
III. Durum: Cismin +x+x yönündeki maksimum uzanım (genlik) noktasından geçtikten T8\frac{T}{8} süre sonraki anı (vIIIv_{III})

Bu durumlardaki hızların (vIv_I, vIIv_{II}, vIIIv_{III}) yönleri (+ ve - işaretleri) dikkate alınarak elde edilen cebirsel değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1III. durumdaki hız (vIIIv_{III})
  2. 2I. durumdaki hız (vIv_I)
  3. 3II. durumdaki hız (vIIv_{II})

Cevap

Doğru sıralama vIII<vI<vIIv_{III} < v_I < v_{II} şeklindedir.
Hızların yönleri ve büyüklükleri hesaplandığında; vIII=−22ωR≈−0,707ωRv_{III} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\omega R \approx -0,707\omega R, vI=−0,5ωRv_I = -0,5\omega R ve vII=+32ωR≈+0,866ωRv_{II} = +\frac{\sqrt{3}}{2}\omega R \approx +0,866\omega R değerleri bulunur. Bu değerlerin cebirsel sıralaması negatiften pozitife doğru vIII<vI<vIIv_{III} < v_I < v_{II} şeklinde olur.

Adım Adım Çözüm

1
I. durum için hız değerini bulunuz.
vI=−0,5ωRv_I = -0,5\omega R
Cisim xI=−32Rx_I = -\frac{\sqrt{3}}{2}R konumunda ve denge konumundan uzaklaşmaktadır. Negatif bölgede dengeden uzaklaştığı için hızı eksi yönlüdür. v=ωR2−x2v = \omega \sqrt{R^2 - x^2} formülünden büyüklüğü 0,5ωR0,5\omega R olup cebirsel değeri vI=−0,5ωRv_I = -0,5\omega R olarak bulunur.
2
II. durum için hız değerini bulunuz.
vII=+32ωR≈+0,866ωRv_{II} = +\frac{\sqrt{3}}{2}\omega R \approx +0,866\omega R
Denge konumundan (x=0x=0) pozitif yönde geçildikten T12\frac{T}{12} süre sonra cisim hala pozitif yönde hareket etmektedir. Hız denklemi v(t)=ωRcos⁡(ωt)v(t) = \omega R \cos(\omega t) kullanılarak, t=T12t = \frac{T}{12} için ωt=30∘\omega t = 30^\circ bulunur. Buradan vII=+ωRcos⁡(30∘)=+32ωRv_{II} = +\omega R \cos(30^\circ) = +\frac{\sqrt{3}}{2}\omega R elde edilir.
3
III. durum için hız değerini bulunuz.
vIII=−22ωR≈−0,707ωRv_{III} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\omega R \approx -0,707\omega R
Maksimum pozitif uzanımdan (x=+Rx=+R) harekete başlayan cisim için konum denklemi x(t)=Rcos⁡(ωt)x(t) = R \cos(\omega t), hız denklemi ise v(t)=−ωRsin⁡(ωt)v(t) = -\omega R \sin(\omega t) olur. Denge konumuna doğru geri döndüğü için hız negatif işaretlidir. t=T8t = \frac{T}{8} için ωt=45∘\omega t = 45^\circ olur. Buradan vIII=−ωRsin⁡(45∘)=−22ωRv_{III} = -\omega R \sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\omega R elde edilir.
4
Elde edilen hız değerlerini cebirsel olarak karşılaştırıp sıralayınız.
vIII<vI<vIIv_{III} < v_I < v_{II}
Cebirsel olarak en küçük değer −0,707ωR-0,707\omega R ile vIIIv_{III}, ardından −0,5ωR-0,5\omega R ile vIv_I, en büyük ise +0,866ωR+0,866\omega R ile vIIv_{II}'dir. Dolayısıyla küçükten büyüğe sıralama III, I, II şeklinde olur.

Anahtar Kavram

Basit harmonik harekette uzanım ve hızın zamana göre değişimi ile hız vektörünün yönünün belirlenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Uzanım, Hız ve İvmenin Zamana Göre Değişimi

Bu konudan daha fazla soru