Examkin

Soru

Zorluk: OrtaUzanım, Hız ve İvmenin Zamana Göre Değişimi

Sürtünmesiz yatay düzlemde basit harmonik hareket yapan bir cismin uzanım, hız ve ivme büyüklüklerinin zamana göre değişimleri incelenmektedir. Cismin periyodu TT, genliği ise RR olup cisim t=0t = 0 anında denge konumundan +x+x yönünde geçmektedir.

Buna göre, cismin hareketine ait aşağıdaki oranları küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1t1=T12t_1 = \frac{T}{12} anındaki ivmesinin büyüklüğünün maksimum ivmesinin büyüklüğüne oranı (a1amax\frac{a_1}{a_{max}})
  2. 2t2=T8t_2 = \frac{T}{8} anındaki hızının büyüklüğünün maksimum hızının büyüklüğüne oranı (v2vmax\frac{v_2}{v_{max}})
  3. 3t3=T6t_3 = \frac{T}{6} anındaki uzanımının büyüklüğünün genliğine oranı (x3R\frac{x_3}{R})

Cevap

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama I, II ve III şeklindedir (I < II < III).
Oranlar hesaplandığında I. oranın 0,5, II. oranın yaklaşık 0,707 ve III. oranın yaklaşık 0,866 olduğu görülür. Bu değerler küçükten büyüğe sıralandığında I < II < III sırası elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Cismin hareket denklemlerinin belirlenmesi
t=0t = 0 anında denge konumundan +x+x yönünde geçen cismin uzanım denklemi x(t)=Rsin⁡(ωt)x(t) = R \sin(\omega t), hız denklemi v(t)=vmaxcos⁡(ωt)v(t) = v_{max} \cos(\omega t) ve ivme büyüklüğü denklemi a(t)=amaxsin⁡(ωt)a(t) = a_{max} \sin(\omega t) olarak yazılır.
Başlangıç koşullarına (t=0t=0 anında denge konumundan geçiş) göre trigonometrik fonksiyonların seçilmesi gerekir.
2
I. öncüldeki ivme oranının hesaplanması
t1=T12t_1 = \frac{T}{12} anı için faz açısı ωt1=2πTT12=π6=30∘\omega t_1 = \frac{2\pi}{T} \frac{T}{12} = \frac{\pi}{6} = 30^\circ olur. İvme oranı a1amax=sin⁡(30∘)=0,5\frac{a_1}{a_{max}} = \sin(30^\circ) = 0,5 bulunur.
İvme büyüklüğünün zamana göre değişimi sin⁡(ωt)\sin(\omega t) fonksiyonu ile belirlenir.
3
II. öncüldeki hız oranının hesaplanması
t2=T8t_2 = \frac{T}{8} anı için faz açısı ωt2=2πTT8=π4=45∘\omega t_2 = \frac{2\pi}{T} \frac{T}{8} = \frac{\pi}{4} = 45^\circ olur. Hız oranı v2vmax=cos⁡(45∘)=22≈0,707\frac{v_2}{v_{max}} = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 bulunur.
Denge konumundan başlandığı için hız büyüklüğünün zamana göre deği��imi cos⁡(ωt)\cos(\omega t) fonksiyonu ile belirlenir.
4
III. öncüldeki uzanım oranının hesaplanması
t3=T6t_3 = \frac{T}{6} anı için faz açısı ωt3=2πTT6=π3=60∘\omega t_3 = \frac{2\pi}{T} \frac{T}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ olur. Uzanım oranı x3R=sin⁡(60∘)=32≈0,866\frac{x_3}{R} = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 bulunur.
Uzanımın zamana göre değişimi sin⁡(ωt)\sin(\omega t) fonksiyonu ile belirlenir.
5
Elde edilen oranların karşılaştırılması
0,5<0,707<0,8660,5 < 0,707 < 0,866 olduğundan sıralama I < II < III şeklindedir.
Hesaplanan sayısal değerlerin büyüklüklerine göre küçükten büyüğe dizilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Basit harmonik harekette uzanım, hız ve ivme büyüklüklerinin trigonometrik zaman fonksiyonları cinsinden ifadesi ve hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Uzanım, Hız ve İvmenin Zamana Göre Değişimi

Bu konudan daha fazla soru