Examkin

Soru

Zorluk: ZorTers Trigonometrik Fonksiyonlar
arcsin⁡(x)+arccos⁡(2x)=5π6\arcsin(x) + \arccos(2x) = \frac{5\pi}{6}

eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevap: -0.5

Cevap

Eşitliği sağlayan xx gerçel sayısı −0.5-0.5 olarak bulunur.
Denklemin çözümünde elde edilen 3x=−31−x23x = -\sqrt{3}\sqrt{1-x^2} eşitliğinin sol ve sağ taraflarının işaret uyumundan dolayı x≤0x \le 0 olması gerekir. Karesi alındığında x2=1/4x^2 = 1/4 çıkan denklemin tek geçerli kökü x=−0.5x = -0.5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik fonksiyonların tanım aralıkları belirlenir.
x∈[−0.5,0.5]x \in [-0.5, 0.5]
arcsin⁡(x)\arcsin(x) fonksiyonunun tanımlı olması için x∈[−1,1]x \in [-1, 1] ve arccos⁡(2x)\arccos(2x) fonksiyonunun tanımlı olması için 2x∈[−1,1]  ⟹  x∈[−0.5,0.5]2x \in [-1, 1] \implies x \in [-0.5, 0.5] olmalıdır.
2
arcsin⁡(x)=α\arcsin(x) = \alpha değişken değiştirmesi yapılır.
sin⁡α=x\sin\alpha = x ve α∈[−π/2,π/2]\alpha \in [-\pi/2, \pi/2]
Ters trigonometrik fonksiyon tanımından dolayı arcsin⁡(x)=α  ⟺  sin⁡α=x\arcsin(x) = \alpha \iff \sin\alpha = x olur ve α\alpha açısı [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] aralığında yer alır.
3
Eşitlik α\alpha cinsinden düzenlenerek her iki tarafın kosinüsü alınır.
2x=cos⁡(5π/6−α)2x = \cos(5\pi/6 - \alpha)
arccos⁡(2x)=5π/6−α\arccos(2x) = 5\pi/6 - \alpha eşitliğinden ters fonksiyon tanımı kullanılarak kosinüs değeri çekilir.
4
Kosinüs fark formülü açılır ve bilinen trigonometrik değerler yerine yazılır.
2x=−32cos⁡α+12sin⁡α2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha
cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B formülü uygulanır. Burada cos⁡(5π/6)=−32\cos(5\pi/6) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ve sin⁡(5π/6)=12\sin(5\pi/6) = \frac{1}{2} değerleri kullanılır.
5
sin⁡α\sin\alpha ve cos⁡α\cos\alpha değerleri xx cinsinden yerine yazılıp denklem düzenlenir.
3x=−31−x23x = -\sqrt{3}\sqrt{1-x^2} ve x≤0x \le 0
sin⁡α=x\sin\alpha = x ve α∈[−π/2,π/2]\alpha \in [-\pi/2, \pi/2] olduğundan cos⁡α=1−x2≥0\cos\alpha = \sqrt{1-x^2} \ge 0 olur. Eşitliğin sağ tarafı negatif veya sıfır olduğundan sol tarafın da negatif veya sıfır olması için x≤0x \le 0 olmalıdır.
6
Her iki tarafın karesi alınarak denklem çözülür.
x=−0.5x = -0.5
9x2=3(1−x2)  ⟹  12x2=3  ⟹  x2=1/4  ⟹  x=±1/29x^2 = 3(1-x^2) \implies 12x^2 = 3 \implies x^2 = 1/4 \implies x = \pm 1/2. Ancak x≤0x \le 0 koşulundan dolayı pozitif kök elenir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlarda değer aralığı sınırlamaları ve trigonometrik denklemlerin cebirsel çözümü
Bu soruyu puanla

Konular

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru