\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 1} \leq 0 x^2 - 4 < 0 \neşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıda… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 1} \leq 0

x^2 - 4 < 0

eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A
$(-2, 2)$
B
$(1, 2)$
$(-2, 1) \cup (1, 2)$ Cevap
D
$[-2, 1) \cup (1, 2]$
E
$(-2, 4]$

(-2, 1) \cup (1, 2)

Sistemdeki birinci eşitsizlik sadeleştirildiğinde

x \leq 4

elde edilir ancak paydanın sıfır olmaması koşulundan dolayı

x \neq 1

şartı aranır. İkinci eşitsizlik ise

x

değerinin

-2

ile

2

açık aralığında olmasını gerektirir. Bu iki çözüm kümesinin kesişimi alındığında,

(-2, 2)

aralığından tanımsızlık yapan

1

değeri çıkarılarak

(-2, 1) \cup (1, 2)

doğru çözümüne ulaşılır.

Birinci eşitsizliğin pay kısmını çarpanlarına ayırıp kökleri bulalım.

\frac{(x - 1)(x - 4)}{x - 1} \leq 0

ifadesinde payın kökleri

x = 1

x = 4

, paydanın kökü ise

x = 1

'dir.

Eşitsizliğin sınır değerlerini ve tanımsızlık noktalarını belirlemek için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.

Birinci eşitsizlik için tanım kümesi kısıtlamasını belirleyelim ve çözüm kümesini bulalım.

x - 1

ifadesi sadeleştirildiğinde

x - 4 \leq 0 \implies x \leq 4

elde edilir. Ancak payda sıfır olamayacağı için

x \neq 1

olmalıdır. Dolayısıyla birinci eşitsizliğin çözüm kümesi:

Ç_1 = (-\infty, 4] \setminus \{1\}

olur.

Paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kıldığından çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.

İkinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulalım.

x^2 - 4 < 0 \implies (x - 2)(x + 2) < 0

eşitsizliğinden kökler

-2

2

olarak bulunur. İşaret incelemesiyle ��özüm aralığı:

Ç_2 = (-2, 2)

olur.

İkinci dereceden eşitsizliğin kökleri bulunarak negatif olduğu aralık tespit edilir.

İki eşitsizliğin ortak çözüm kümesini bulmak için kesişim işlemini uygulayalım.

Ç_1 \cap Ç_2 = \left((-\infty, 4] \setminus \{1\}\right) \cap (-2, 2) = (-2, 2) \setminus \{1\}

Bu küme açık aralıklar şeklinde yazıldığında

(-2, 1) \cup (1, 2)

olarak ifade edilir.

Eşitsizlik sistemlerinin çözümü, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerlerin kesişim kümesidir.

İkinci dereceden rasyonel eşitsizlik sistemlerinde payda kökünün hariç tutularak ortak çözüm kümesinin bulunması.

Soru