Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=2x−1x+1f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}
eğrisine eğimi 33 olan teğet doğruları çiziliyor.
Buna göre, bu teğet doğrularının yy eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı kaçtır?

Cevap: 10

Cevap

Teğet doğrularının y eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı 10'dur.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3(x+1)2f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2} olarak hesaplanır. Türev fonksiyonu 3'e eşitlendiğinde teğet noktalarının apsisleri x=0x = 0 ve x=−2x = -2 bulunur. Bu apsis değerlerine karşılık gelen teğet noktaları sırasıyla (0,−1)(0, -1) ve (−2,5)(-2, 5) olur. Bu noktalardan çizilen ve eğimleri 3 olan teğet doğrularının denklemleri y=3x−1y = 3x - 1 ve y=3x+11y = 3x + 11 olarak elde edilir. Bu doğruların y eksenini kestiği noktaların ordinatları −1-1 ve 1111 olup toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi bölümün türevi kuralı kullanılarak hesaplanır.
f′(x)=2(x+1)−(2x−1)(1)(x+1)2=3(x+1)2f'(x) = \frac{2(x+1) - (2x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}
Bir eğriye çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonu, verilen teğet eğimi olan 3'e eşitlenerek teğet noktalarının apsisleri (xx değerleri) bulunur.
3(x+1)2=3⇒(x+1)2=1⇒x+1=1\frac{3}{(x+1)^2} = 3 \Rightarrow (x+1)^2 = 1 \Rightarrow x+1 = 1 veya x+1=−1x+1 = -1 olup buradan x1=0x_1 = 0 ve x2=−2x_2 = -2 elde edilir.
Teğet doğrusunun eğiminin 3 olduğu noktaları tespit etmek için.
3
Bulunan apsis değerleri fonksiyonda yerine yazılarak teğet noktalarının ordinatları bulunur.
y1=f(0)=2(0)−10+1=−1y_1 = f(0) = \frac{2(0)-1}{0+1} = -1 ve y2=f(−2)=2(−2)−1−2+1=5y_2 = f(-2) = \frac{2(-2)-1}{-2+1} = 5. Böylece teğet noktaları (0,−1)(0, -1) ve (−2,5)(-2, 5) olarak bulunur.
Teğet doğrularının denklemlerini yazabilmek için temas noktalarının koordinatlarına ihtiyaç duyulur.
4
Eğimi 3 olan ve teğet noktalarından geçen doğruların denklemleri yazılır.
Birinci teğet doğrusu: y−(−1)=3(x−0)⇒y=3x−1y - (-1) = 3(x - 0) \Rightarrow y = 3x - 1. İkinci teğet doğrusu: y−5=3(x−(−2))⇒y=3x+11y - 5 = 3(x - (-2)) \Rightarrow y = 3x + 11.
Doğruların y eksenini kestiği noktaları belirlemek için.
5
Teğet doğrularının y eksenini kestiği noktaların ordinatları belirlenir ve toplanır.
y=3x−1y = 3x - 1 doğrusu y eksenini −1-1 noktasında, y=3x+11y = 3x + 11 doğrusu ise 1111 noktasında keser. Toplamları: −1+11=10-1 + 11 = 10.
Soruda teğet doğrularının y eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu gereği, bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir. Eğim ve teğet noktası kullanılarak teğet doğrusunun denklemi y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) formülüyle yazılır.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru