Examkin

Soru

Zorluk: ZorArtan ve Azalan Fonksiyonlar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve her x∈Rx \in \mathbb{R} için pozitif değerli olan ff fonksiyonu azalandır.

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve her x∈Rx \in \mathbb{R} için negatif değerli olan gg fonksiyonu artandır.

Buna göre,

I. (f⋅g)(x)(f \cdot g)(x)
II. (f∘g)(x)(f \circ g)(x)
III. (g−f)(x)(g - f)(x)

ifadelerinden hangileri gerçel sayılar kümesi üzerinde her zaman artandır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız III
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIICevap
  5. E
    II ve III

Cevap

I ve III
Verilen koşullarda, x1<x2x_1 < x_2 iken f(x1)>f(x2)>0f(x_1) > f(x_2) > 0 ve g(x1)<g(x2)<0g(x_1) < g(x_2) < 0 olur. Çarpım fonksiyonunun farkı (f⋅g)(x2)−(f⋅g)(x1)=f(x2)[g(x2)−g(x1)]+g(x1)[f(x2)−f(x1)](f \cdot g)(x_2) - (f \cdot g)(x_1) = f(x_2)[g(x_2) - g(x_1)] + g(x_1)[f(x_2) - f(x_1)] şeklinde yazıldığında her iki terim de pozitif olacağından sonuç pozitif çıkar ve fonksiyon artandır. Benzer şekilde, gg fonksiyonu artan, −f-f fonksiyonu da artan olduğundan toplamları olan g−fg - f fonksiyonu da her zaman artandır. Dolayısıyla I ve III ifadeleri her zaman artandır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyon özelliklerini matematiksel eşitsizliklerle tanımlamak.
x1<x2x_1 < x_2 için f(x1)>f(x2)>0f(x_1) > f(x_2) > 0 (çünkü ff pozitif değerli ve azalan) ve g(x1)<g(x2)<0g(x_1) < g(x_2) < 0 (çünkü gg negatif değerli ve artan) eşitsizlikleri elde edilir.
Fonksiyonların artanlık, azalanlık ve işaret özelliklerini analiz edebilmek için temel tanımları kurmak gerekir.
2
Birinci öncüldeki (f⋅g)(x)(f \cdot g)(x) ifadesinin artanlığını incelemek.
(f⋅g)(x2)−(f⋅g)(x1)=f(x2)g(x2)−f(x1)g(x1)(f \cdot g)(x_2) - (f \cdot g)(x_1) = f(x_2)g(x_2) - f(x_1)g(x_1) farkın�� f(x2)[g(x2)−g(x1)]+g(x1)[f(x2)−f(x1)]f(x_2)[g(x_2) - g(x_1)] + g(x_1)[f(x_2) - f(x_1)] şeklinde yazalım. Burada f(x2)>0f(x_2) > 0 ve g(x2)−g(x1)>0g(x_2) - g(x_1) > 0 olduğundan birinci terim pozitiftir. g(x1)<0g(x_1) < 0 ve f(x2)−f(x1)<0f(x_2) - f(x_1) < 0 olduğundan ikinci terim de iki negatif sayının çarpımı olarak pozitiftir. İki pozitif ifadenin toplamı pozitif olacağından (f⋅g)(x2)>(f⋅g)(x1)(f \cdot g)(x_2) > (f \cdot g)(x_1) elde edilir. Dolayısıyla ��arpım fonksiyonu her zaman artandır.
Çarpım fonksiyonunun artan olup olmadığını artanlık tanımını kullanarak cebirsel olarak kanıtlamak amacıyla bu adım uygulanır.
3
İkinci öncüldeki bileşke fonksiyon (f∘g)(x)(f \circ g)(x) ifadesinin artanlığını incelemek.
x1<x2x_1 < x_2 iken gg artan olduğu için g(x1)<g(x2)g(x_1) < g(x_2) olur. ff fonksiyonu azalan olduğundan, bu eşitsizliğin her iki tarafına ff uygulandığında eşitsizlik yön de��iştirir: f(g(x1))>f(g(x2))f(g(x_1)) > f(g(x_2)). Bu durum, bileşke fonksiyonun azalan olduğunu gösterir. Dolayısıyla bu öncül her zaman artan değildir.
Bileşke fonksiyonların artanlık/azalanlık özelliklerini belirlerken içteki ve dıştaki fonksiyonların yön değiştirme durumlarını incelemek gerekir.
4
Üçüncü öncüldeki (g−f)(x)(g - f)(x) fark fonksiyonunun artanlığını incelemek.
x1<x2x_1 < x_2 için g(x1)<g(x2)g(x_1) < g(x_2) dir. Ayrıca f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) olduğundan, her iki tarafı −1-1 ile çarpt��ğımızda −f(x1)<−f(x2)-f(x_1) < -f(x_2) elde edilir. Bu iki eşitsizliği taraf tarafa toplarsak g(x1)−f(x1)<g(x2)−f(x2)g(x_1) - f(x_1) < g(x_2) - f(x_2) elde edilir. Bu da (g−f)(x)(g - f)(x) fonksiyonunun her zaman artan olduğunu gösterir.
İki fonksiyonun farkının büyüme eğilimini belirlemek için her birinin değişim yönünü toplanabilir eşitsizlikler haline getirmek gerekir.

Anahtar Kavram

Artan ve azalan fonksiyonların cebirsel özellikleri, bileşke ve aritmetik işlemler altındaki davranışları.
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru