Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere, aşağıda verilen aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
  1. 1c=tan⁡x−cot⁡xsec⁡x⋅csc⁡xc = \frac{\tan x - \cot x}{\sec x \cdot \csc x}
  2. 2b=1+2sin⁡xcos⁡xb = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x}
  3. 3a=sin⁡4x−cos⁡4xsin⁡x+cos⁡xa = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin x + \cos x}

Cevap

İfadelerin doğru sıralanışı c < b < a şeklindedir.
Negatif olan tek ifade c olduğu için en küçüktür. Pozitif olan a ve b ifadeleri karşılaştırıldığında, a ifadesinin b ifadesinden farkı iki kat sinüs değeri olup bu değer de ikinci bölgede pozitif olduğundan a, b'den büyüktür. Bu durumda doğru sıralama c < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.
a=sin⁡x−cos⁡x>0a = \sin x - \cos x > 0
İki kare farkı özdeşliği kullanılarak pay kısmı sin⁡4x−cos⁡4x=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) şeklinde yazılır. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğundan ifade sin⁡2x−cos⁡2x\sin^2 x - \cos^2 x haline gelir. Bu da (sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) olarak çarpanlarına ayrılır ve paydadaki ifadeyle sadeleştiğinde geriye a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x kalır. İkinci bölgede sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, bu fark pozitif bir değer alır.
2
bb ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.
b=−sin⁡x−cos⁡x>0b = -\sin x - \cos x > 0
1+2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + 2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 özdeşliği kullanılır. İfade kök dışına mutlak değer içinde ∣sin⁡x+cos⁡x∣|\sin x + \cos x| olarak çıkar. x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığında kosinüsün mutlak değeri sinüsten büyük ve kosinüs negatif olduğu için toplamları negatiftir. Bu nedenle ifade kök dışına işaret değiştirerek b=−sin⁡x−cos⁡xb = -\sin x - \cos x olarak çıkar.
3
cc ifadesini sadeleştirip değer aralığını belirleyiniz.
c=sin⁡2x−cos⁡2x<0c = \sin^2 x - \cos^2 x < 0
tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x\tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} ve sec⁡x⋅csc⁡x=1sin⁡xcos⁡x\sec x \cdot \csc x = \frac{1}{\sin x \cos x} ifadeleri yerine yazılarak oranlandığında paydadaki sin⁡xcos⁡x\sin x \cos x terimleri sadeleşir ve c=sin⁡2x−cos⁡2xc = \sin^2 x - \cos^2 x kalır. Verilen aralıkta cos⁡2x>sin⁡2x\cos^2 x > \sin^2 x olduğundan fark negatiftir.
4
Elde edilen sonuçları karşılaştırarak sıralamayı yapınız.
c<b<ac < b < a
cc negatif olduğundan en küçüktür. Pozitif olan aa ve bb değerleri kıyaslandığında ise, a−b=(sin⁡x−cos⁡x)−(−sin⁡x−cos⁡x)=2sin⁡xa - b = (\sin x - \cos x) - (-\sin x - \cos x) = 2\sin x elde edilir. Verilen aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan a−b>0  ⟹  a>ba - b > 0 \implies a > b olur. Buradan doğru sıralama c<b<ac < b < a olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru