Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKosinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=3 birim|AB| = 3\text{ birim}, ∣BC∣=5 birim|BC| = 5\text{ birim} ve ∣AC∣=7 birim|AC| = 7\text{ birim} dir. [BC][BC] kenarı üzerinde ∣BD∣=3 birim|BD| = 3\text{ birim} olacak şekilde bir DD noktası alınıyor. Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

  1. A
    3
  2. B
    323\sqrt{2}
  3. 333\sqrt{3}Cevap
  4. D
    6
  5. E
    19\sqrt{19}

Cevap

Doğru cevap 333\sqrt{3} birimdir.
Büyük üçgende Kosinüs Teoremi ile elde edilen cos⁡B=−12\cos B = -\frac{1}{2} değeri, ABDABD üçgeninde yerine yazıldığında x2=27x^2 = 27 denklemi elde edilir ve buradan doğru uzunluk 333\sqrt{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Büyük üçgen olan ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak BB açısının kosinüs değerini bulma.
cos⁡B=−12\cos B = -\frac{1}{2}
∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2−2⋅∣AB∣⋅∣BC∣⋅cos⁡B|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos B formülünden 72=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡B  ⟹  49=34−30cos⁡B  ⟹  30cos⁡B=−15  ⟹  cos⁡B=−127^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos B \implies 49 = 34 - 30\cos B \implies 30\cos B = -15 \implies \cos B = -\frac{1}{2} elde edilir.
2
ABDABD üçgeninde Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak ∣AD∣=x|AD| = x uzunluğunu hesaplama.
x=33x = 3\sqrt{3}
∣AD∣2=∣AB∣2+∣BD∣2−2⋅∣AB∣⋅∣BD∣⋅cos⁡B|AD|^2 = |AB|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BD| \cdot \cos B formülünden x2=32+32−2⋅3⋅3⋅(−12)  ⟹  x2=18+9=27  ⟹  x=33x^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \implies x^2 = 18 + 9 = 27 \implies x = 3\sqrt{3} birim bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru