Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla a, b ve c birimdir. Bu üçgende, a \cdot \cos B + b \cdot \cos A = 8 ve \sin C = 0{}8 olduğuna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarı��apı kaç birimdir?

Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla a, b ve c birimdir. Bu üçgende, a \cdot \cos… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ birimdir.

Bu üçgende,

a \cdot \cos B + b \cdot \cos A = 8

\sin C = 0{}8

olduğuna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarı��apı kaç birimdir?

Cevap: 5 birim

Çevrel çemberin yarıçapı 5 birimdir.

Üçgende kenar uzunlukları ile trigonometrik oranlar arasındaki ilişki incelendiğinde,

a \cos B + b \cos A = c

bağıntısı elde edilir. Buradan

c = 8

bulunur. Sinüs teoremine göre

\frac{c}{\sin C} = 2R

olduğundan,

\frac{8}{0{}8} = 2R \implies 2R = 10

ve yarıçap

R = 5

birim bulunur.

Üçgenin kenar projeksiyon ilişkisini kullanarak

c

kenarının uzunluğunu belirleyelim.

c = 8

birimdir.

Herhangi bir üçgende

a \cdot \cos B + b \cdot \cos A = c

eşitliği geçerlidir. Bu durum sinüs teoremi ve sinüs toplam formülü yardımıyla da

2R(\sin A \cos B + \sin B \cos A) = 2R \sin(A+B) = 2R \sin C = c

şeklinde ispatlanabilir.

Sinüs teoremini kullanarak çevrel çemberin yarıçapını hesaplayalım.

R = 5

birimdir.

Sinüs teoremine göre

\frac{c}{\sin C} = 2R

yazılabilir. Değerleri yerine koyduğumuzda

\frac{8}{0{}8} = 2R \implies 10 = 2R \implies R = 5

bulunur.

Sinüs Teoremi ve Üçgende Kenar-Açı İlişkileri