Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBağımlı ve Bağımsız Olaylar

Bir teknoloji mağazasında satılan telefonların ekran boyutu ve batarya kapasitesi özelliklerine göre dağılımı incelenmektedir. Mağazadaki telefonlardan rastgele seçilen bir telefonun;
- Büyük ekranlı olma olayı EE,
- Yüksek batarya kapasiteli olma olayı BB
olarak tanımlanıyor.

Bu mağazadaki telefonların %50\%50'sinin büyük ekranlı, %40\%40'ının yüksek batarya kapasiteli ve %70\%70'inin büyük ekranlı veya yüksek batarya kapasiteli olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. EE ve BB olayları bağımsız olaylardır.
II. Seçilen bir telefonun büyük ekranlı olduğu bilindiğine göre, yüksek batarya kapasiteli olma olasılığı %20\%20'dir.
III. Seçilen bir telefonun yüksek batarya kapasiteli olduğu bilindiğine göre, büyük ekranlı olma olasılığı %50\%50'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız III
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve III ifadeleri doğrudur.
I ve III ifadeleri doğrudur. Büyük ekranlı olma olayı ve yüksek batarya kapasiteli olma olayının kesişim olasılığı 0,200,20 olarak bulunur. Olayların kendi olasılıklarının çarpımı da 0,50⋅0,40=0,200,50 \cdot 0,40 = 0,20 olduğundan olaylar bağımsızdır (I. öncül doğru). Bağımsız olaylarda bir olayın gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmediğinden, yüksek batarya kapasiteli olduğu bilinen telefonun büyük ekranlı olma olasılığı doğrudan büyük ekranlı olma olasılığına eşittir ve %50\%50 olur (III. öncül doğru). İkinci öncülde verilen %20\%20 değeri ise koşullu olasılık değil, sadece iki özelliğin bir arada bulunma (kesişim) olasılığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Olayların kesişim olasılığını (P(E∩B)P(E \cap B)) hesaplamak için birleşim formülünü kullanın.
P(E∪B)=P(E)+P(B)−P(E∩B)P(E \cup B) = P(E) + P(B) - P(E \cap B) formülünden 0,70=0,50+0,40−P(E∩B)  ⟹  P(E∩B)=0,200,70 = 0,50 + 0,40 - P(E \cap B) \implies P(E \cap B) = 0,20 elde edilir.
Kesişim olasılığı, olayların bağımsızlığını test etmek ve koşullu olasılıkları hesaplamak için gereklidir.
2
I. öncülün doğruluğunu kontrol etmek için bağımsızlık şartını test edin.
P(E)⋅P(B)=0,50⋅0,40=0,20P(E) \cdot P(B) = 0,50 \cdot 0,40 = 0,20 bulunur. P(E∩B)=0,20P(E \cap B) = 0,20 olduğundan P(E∩B)=P(E)⋅P(B)P(E \cap B) = P(E) \cdot P(B) eşitliği sağlanır.
Kesişim olasılığı, iki olayın olasılıklarının çarpımına eşitse bu iki olay bağımsızdır. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.
3
II. öncüldeki koşullu olasılığı hesaplayın.
P(B∣E)=P(E∩B)P(E)=0,200,50=0,40P(B|E) = \frac{P(E \cap B)}{P(E)} = \frac{0,20}{0,50} = 0,40 (yani %40\%40) bulunur. Öncülde %20\%20 verildiği için bu öncül yanlıştır.
Büyük ekranlı olduğu bilindiği için örnek uzay birinci olayın olasılığına daraltılmalıdır. Olaylar bağımsız olduğundan doğrudan P(B∣E)=P(B)=%40P(B|E) = P(B) = \%40 olduğu da görülebilir.
4
III. öncüldeki koşullu olasılığı hesaplayın.
P(E∣B)=P(E∩B)P(B)=0,200,40=0,50P(E|B) = \frac{P(E \cap B)}{P(B)} = \frac{0,20}{0,40} = 0,50 (yani %50\%50) bulunur. Öncülde %50\%50 verildiği için bu öncül doğrudur.
Yüksek batarya kapasiteli olduğu bilindiği için örnek uzay ikinci olayın olasılığına daraltılmalıdır. Olaylar bağımsız olduğundan doğrudan P(E∣B)=P(E)=%50P(E|B) = P(E) = \%50 olduğu da görülebilir.

Anahtar Kavram

Bağımsız Olaylar ve Koşullu Olasılık İlişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Bağımlı ve Bağımsız Olaylar

Bu konudan daha fazla soru