Bir veri merkezinde bulunan A ve B sunucularının bir gün içinde arızalanma olasılıkları sı… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir veri merkezinde bulunan $A$ ve $B$ sunucularının bir gün içinde arızalanma olasılıkları sırasıyla $P(E_A)$ ve $P(E_B)$ 'dir. Bu sunucuların arızalanma durumları birbirinden bağımsız olaylardır.

$A$ sunucusunun arızalanma olasılığı, $B$ sunucusunun arızalanma olasılığının $2$ katıdır.

Gün sonunda bu sunuculardan en az birinin arızalanmış olma olasılığı $\frac{7}{9}$ olduğuna göre, sadece $A$ sunucusunun arızalanmış olma olasılığı en sade haliyle $\frac{a}{b}$ rasyonel sayısı olarak yazıldığında $a + b$ toplamı kaçtır?

Cevap: 13

Cevap

Sadece A sunucusunun arızalanmış olma olasılığı en sade biçimde 4/9 olup, pay ve payda toplamı 13'tür.

Sadece A sunucusunun arızalanması olasılığı, A'nın arızalanması ve B'nin arızalanmaması olaylarının kesişimidir. Olaylar bağımsız olduğu için bu olasılıkların çarpımı olan 4/9 değerine ulaşılır. Pay ve payda toplamı ise 13'tür.

Adım Adım Çözüm

Sunucuların arızalanma olasılıklarını değişkenler cinsinden ifade etme

P(E_B) = p

ise

P(E_A) = 2p

olur.

A sunucusunun arızalanma olasılığının, B sunucusunun arızalanma olasıl��ğının 2 katı olduğu soruda verilmiştir.

En az bir sunucunun arızalanma olasılığı formülünü bağımsız olaylar için kurup çözme

18p^2 - 27p + 7 = 0

denkleminden

p = \frac{1}{3}

elde edilir.

Olaylar bağımsız olduğundan

P(E_A \cup E_B) = P(E_A) + P(E_B) - P(E_A) \cdot P(E_B) = 2p + p - 2p^2 = 3p - 2p^2

olur.

3p - 2p^2 = \frac{7}{9}

eşitliğinden

18p^2 - 27p + 7 = 0

elde edilir. Bu denklemin çarpanları

(3p - 1)(6p - 7) = 0

olup kökleri

p = \frac{1}{3}

veya

p = \frac{7}{6}

'dır. Olasılık değeri 1'den büyük olamayacağı ve

P(E_A) = 2p \leq 1

olması gerektiği için

p = \frac{1}{3}

alınır.

Sadece A sunucusunun arızalanma olasılığını hesaplama

P(E_A \cap E_B') = \frac{4}{9}

olur.

Sadece A'nın arızalanması, A'nın arızalanıp B'nin arızalanmaması anlamına gelir. Bağımsız olaylar için bu olasılık

P(E_A) \cdot (1 - P(E_B)) = \frac{2}{3} \cdot (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

olarak hesaplanır.

En sade rasyonel ifadenin pay ve payda değerlerini toplama

a + b = 4 + 9 = 13

bulunur.

Bulunan

\frac{4}{9}

kesri en sade halindedir. Bu durumda

a = 4

b = 9

olup toplamları 13'tür.

Anahtar Kavram

Bağımsız olayların kesişim ve birleşim olasılıklarının hesaplanması

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru