Bir torbada 3 kırmızı ve 4 beyaz top bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir top çekiliyor. Ç… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir torbada $3$ kırmızı ve $4$ beyaz top bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir top çekiliyor. Çekilen top kırmızı ise torbaya geri atılmayıp torbaya $1$ beyaz top ekleniyor; eğer çekilen top beyaz ise torbaya geri atılıp torbaya $1$ kırmızı top ekleniyor. Ardından torbadan rastgele ikinci bir top çekiliyor.

Buna göre, ikinci çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre, ilk çekilen topun beyaz olma olasılığı kaçtır?

A
$\frac{2}{7}$
B
$\frac{2}{3}$
$\frac{7}{10}$ Cevap
D
$\frac{3}{10}$
E
$\frac{8}{11}$

Cevap

İlk çekilen topun beyaz olma olasılığı

\frac{7}{10}

olarak bulunur.

İkinci topun kırmızı geldiği bilindiği için bu durum yeni örnek uzayımız olur. İlk topun beyaz ve ikincinin kırmızı geldiği durumun olasılığı (ondört bölü kırk dokuz), ikinci topun kırmızı geldiği toplam olasılığa (yirmi bölü kırk dokuz) oranlandığında yedi bölü on sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

İlk çekimde kırmızı top gelmesi durumunu ve sonrasındaki torba yapısını analiz etme

İlk çekilen topun kırmızı olma olasılığı

P(K_1) = \frac{3}{7}

'dir. Kırmızı top geri atılmayıp yerine

1

beyaz top eklendiğinden torbada

2

kırmızı ve

5

beyaz top kalır. Bu durumda ikinci çekimde kırmızı gelme olasılığı

P(K_2 | K_1) = \frac{2}{7}

olur. İki olayın ortak olasılığı

P(K_1 \cap K_2) = \frac{3}{7} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{49}

'dur.

Bağımlı olayların zincirleme olasılıklarını belirlemek için ilk aşamayı hesaplamamız gerekir.

İlk çekimde beyaz top gelmesi durumunu ve sonrasındaki torba yapısını analiz etme

İlk çekilen topun beyaz olma olasılığı

P(B_1) = \frac{4}{7}

'dir. Beyaz top geri atılıp torbaya

1

kırmızı top eklendiğinden torbada

4

kırmızı ve

4

beyaz top olur. Bu durumda ikinci çekimde kırmızı gelme olasılığı

P(K_2 | B_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

olur. İki olayın ortak olasılığı

P(B_1 \cap K_2) = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{14}{49}

'dur.

İkinci aşamada beyaz topun çekilmesi durumundaki bağımlı olasılık yollarını belirlemek için.

İkinci topun kırmızı gelme toplam olasılığını hesaplama

P(K_2) = P(K_1 \cap K_2) + P(B_1 \cap K_2) = \frac{6}{49} + \frac{14}{49} = \frac{20}{49}

'dur.

Koşullu olasılık formülünün paydasını (örnek uzayı daraltan koşulu) bulmak amacıyla toplam olasılık teoremini uygularız.

Koşullu olasılık formülünü uygulayarak nihai sonucu bulma

P(B_1 | K_2) = \frac{P(B_1 \cap K_2)}{P(K_2)} = \frac{\frac{14}{49}}{\frac{20}{49}} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}

'dur.

İkinci çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre ilk çekilen topun beyaz olma olasılığını hesaplamak için koşullu olasılık tanımını kullanırız.

Anahtar Kavram

Bağımlı olayların olasılıkları hesaplanırken bir sonraki aşamadaki örnek uzay ve eleman sayıları ilk aşamadaki sonuca göre değişir. Koşullu olasılık sorularında ise toplam olasılık hesaplanarak örnek uzay daraltılır.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru