Bir torbada 4 sarı ve 6 lacivert kart bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir kart çekiliyor.… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir torbada $4$ sarı ve $6$ lacivert kart bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir kart çekiliyor.

- Çekilen kart sarı ise, üzerinde $1$ 'den $6$ 'ya kadar rakamların yazılı olduğu düzgün bir zar atılıyor.
- Çekilen kart lacivert ise, üzerinde $1$ 'den $8$ 'e kadar rakamların yazılı olduğu düzgün sekizyüzlü bir zar atılıyor.

Buna göre,

I. Çekilen kartın sarı olması olayı ile zarda tek sayı gelmesi olayı bağımsızdır.
II. Çekilen kartın sarı olması olayı ile zarda $3$ 'ten küçük bir sayı gelmesi olayı bağımsızdır.
III. Zarda gelen sayının çift sayı olması olasılığı $\frac{1}{2}$ 'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A
Yalnız I
B
Yalnız II
C
I ve II
I ve IIICevap
E
I, II ve III

Cevap

I ve III ifadeleri doğrudur.

I ve III ifadelerinin doğru olduğunu gösteren matematiksel açıklamadır. Kartın sarı olması olayı ile zarda tek sayı gelmesi olayı bağımsızdır çünkü kesişimlerinin olasılığı, ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına eşittir. Benzer şekilde, toplam olasılık formülünden zarda gelen sayının çift olma olasılığı 1/2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

Torbada bulunan toplam kart sayısını belirleyip sarı ve lacivert kart çekilme olasılıklarını hesaplayın.

P(\text{Sarı}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

P(\text{Lacivert}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

bulunur.

İkinci aşamadaki zar atışlarının hangi zarla yapılacağını belirleyen olasılıkları bulmak için.

I. öncül için zarda tek sayı gelme olasılığını (

P(T)

) toplam olasılık formülüyle hesaplayıp sarı kart çekme olayı (

S

) ile bağımsızlığını test edin.

Sarı kart çekildiğinde 6 yüzlü zarda tek gelme olasılığı

P(T|S) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

, lacivert kart çekildiğinde 8 yüzlü zarda tek gelme olasılığı

P(T|L) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

'dir. Toplam olasılık:

P(T) = P(T|S)P(S) + P(T|L)P(L) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{2}

. Kesişim olasılığı:

P(S \cap T) = P(T|S) \cdot P(S) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}

P(S) \cdot P(T) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5}

olduğundan

P(S \cap T) = P(S) \cdot P(T)

eşitliği sağlanır ve olaylar bağımsızdır.

İki olayın bağımsız olabilmesi için kesişimlerinin olasılığının, ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına eşit olması gerekir.

II. öncül için zarda 3'ten küçük bir sayı gelme olasılığını (

P(M)

) hesaplayıp sarı kart çekme olayı (

S

) ile bağımsızlığını test edin.

Sarı kart çekildiğinde 6 yüzlü zarda 3'ten küçük gelme olasılığı

P(M|S) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

, lacivert kart çekildiğinde 8 yüzlü zarda 3'ten küçük gelme olasılığı

P(M|L) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

'tür. Toplam olasılık:

P(M) = P(M|S)P(S) + P(M|L)P(L) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{15} + \frac{3}{20} = \frac{17}{60}

. Kesişim olasılığı:

P(S \cap M) = P(M|S) \cdot P(S) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{15} = \frac{8}{60}

P(S) \cdot P(M) = \frac{2}{5} \cdot \frac{17}{60} = \frac{34}{300} = \frac{17}{150}

'dir.

\frac{8}{60} \neq \frac{17}{150}

olduğundan bu olaylar bağımlıdır.

Kesişim olasılığı ile olasılıkların çarpımı eşit çıkmadığı için bağımsızlık koşulu sağlanmaz.

III. öncül için zarda çift sayı gelme olasılığını (

P(\text{Çift})

) toplam olasılık formülüyle hesaplayın.

P(\text{Çift}) = 1 - P(T) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

bulunur.

Bir zar atıldığında gelen sayının tek veya çift olması birbirinin tümleyeni olan iki olaydır.

Anahtar Kavram

İki aşamalı deneylerde olayların bağımsızlığının matematiksel olarak

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

bağıntısıyla test edilmesi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru