Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
π2<x<π\frac{\pi}{2} < x < \pi

olmak üzere,

a=cos⁡xb=cot⁡xc=csc⁡x\begin{aligned} a &= \cos x \\ b &= \cot x \\ c &= \csc x \end{aligned}

olarak veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. b<a<cb < a < cCevap
  2. B
    a<b<ca < b < c
  3. C
    c<b<ac < b < a
  4. D
    b<c<ab < c < a
  5. E
    a<c<ba < c < b

Cevap

Doğru sıralama b < a < c şeklindedir.
İkinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs ve kotanjant negatiftir. 0<sin⁡x<10 < \sin x < 1 aralığında olduğundan, kosekant değeri olan 1/sin⁡x1/\sin x daima 1'den büyüktür ve pozitiftir, yani en büyük terimdir. Kosinüs ve kotanjant negatif değerlerdir. Negatif olan kosinüs değeri, 0 ile 1 arasındaki pozitif sinüs değerine bölündüğünde daha da negatifleşerek küçülür ve kotanjant değerini verir. Bu nedenle kotanjant kosinüsten daha küçüktür. Sıralama küçükten büyüğe doğru kotanjant, kosinüs, kosekant şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesini belirleme ve temel trigonometrik oranların işaretlerini analiz etme.
x∈(π2,π)x \in (\frac{\pi}{2}, \pi) olduğundan, açı koordinat sisteminin ikinci bölgesindedir. İkinci bölgede sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0 ve cot⁡x<0\cot x < 0 değerlerini alır.
Sıralama işlemine başlamadan önce değerlerin pozitiflik-negatiflik durumunu belirlemek sıralamayı kolaylaştırır.
2
Kosekant (cc) değerinin işaretini ve değer aralığ��nı belirleme.
c=csc⁡x=1sin⁡xc = \csc x = \frac{1}{\sin x} olarak tanımlıdır. İkinci bölgede 0<sin⁡x<10 < \sin x < 1 aralığında değer aldığından, bu değerin çarpmaya göre tersi olan kosekant değeri c>1c > 1 olur. Pozitif olan tek terim cc olduğundan en büyük değerdir.
Kosekantın ikinci bölgedeki değer aralığını bularak en büyük elemanı tespit etmek için.
3
Kosinüs (aa) ve kotanjant (bb) değerlerini karşılaştırma.
b=cot⁡x=cos⁡xsin⁡xb = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} şeklindedir. İkinci bölgede 0<sin⁡x<10 < \sin x < 1 olduğundan, 1sin⁡x>1\frac{1}{\sin x} > 1 eşitsizliği geçerlidir. Negatif bir sayı olan cos⁡x\cos x ile bu eşitsizliğin her iki tarafı çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir: cos⁡xsin⁡x<cos⁡x  ⟹  b<a\frac{\cos x}{\sin x} < \cos x \implies b < a elde edilir. Sonuç olarak b<a<cb < a < c sıralaması bulunur.
Negatif iki değerin mutlak değerce büyüklükleri ile negatif sıralama kurallarını birleştirerek nihai sıralamayı elde etmek için.

Anahtar Kavram

İkinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaret ve değer aralıkları kullanılarak sıralanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru