Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=cos⁡x−sin⁡xa = \cos x - \sin x
b=tan⁡x−cot⁡xb = \tan x - \cot x
c=sec⁡x−csc⁡xc = \sec x - \csc x

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    a<b<ca < b < c
  2. B
    c<a<bc < a < b
  3. a<c<ba < c < bCevap
  4. D
    b<c<ab < c < a
  5. E
    c<b<ac < b < a

Cevap

Doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
Verilen aralıkta sinüs kosinüsten büyük olduğu için a=cos⁡x−sin⁡xa = \cos x - \sin x negatif bir değer alır. Sekant ve kosekant farkı olan c=sec⁡x−csc⁡xc = \sec x - \csc x ile tanjant ve kotanjant farkı olan b=tan⁡x−cot⁡xb = \tan x - \cot x ifadeleri ise pozitif değerler üretir. Bu iki pozitif değer rasyonel biçimde yazılıp birbirine oranlandığında, b=c(sin⁡x+cos⁡x)b = c(\sin x + \cos x) eşitliği elde edilir. Bu aralıkta sin⁡x+cos⁡x>1\sin x + \cos x > 1 olduğundan, pozitif bir sayı olan cc değeri, 1'den büyük bir katsayı ile çarpılarak daha büyük olan bb değerine ulaşır. Dolayısıyla en doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Aralıktaki temel trigonometrik fonksiyonların ilişkilerini belirleme
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında sinüs değeri kosinüs değerinden büyüktür: sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0. Benzer şekilde tanjant değeri 1'den büyük, kotanjant değeri ise 1'den küçüktür: tan⁡x>1>cot⁡x>0\tan x > 1 > \cot x > 0.
Değişkenlerin işaretlerini ve bağıl büyüklüklerini analiz etmek için referans noktaları oluşturulur.
2
aa, bb ve cc değerlerinin işaretlerini tespit etme
sin⁡x>cos⁡x  ⟹  a=cos⁡x−sin⁡x<0\sin x > \cos x \implies a = \cos x - \sin x < 0 (negatif)
tan⁡x>cot⁡x  ⟹  b=tan⁡x−cot⁡x>0\tan x > \cot x \implies b = \tan x - \cot x > 0 (pozitif)
sec⁡x=1cos⁡x\sec x = \frac{1}{\cos x} ve csc⁡x=1sin⁡x\csc x = \frac{1}{\sin x} ifadelerinde sin⁡x>cos⁡x>0  ⟹  1cos⁡x>1sin⁡x  ⟹  sec⁡x>csc⁡x  ⟹  c=sec⁡x−csc⁡x>0\sin x > \cos x > 0 \implies \frac{1}{\cos x} > \frac{1}{\sin x} \implies \sec x > \csc x \implies c = \sec x - \csc x > 0 (pozitif)
Negatif olan terimi belirleyerek sıralamanın en küçük elemanını saptamak amaçlanır.
3
Pozitif olan bb ve cc ifadelerini cebirsel özdeşlikler yardımıyla karşılaştırma
b=tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡xb = \tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}
c=sec⁡x−csc⁡x=1cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡xc = \sec x - \csc x = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x}

bb ifadesinin payındaki iki kare farkı açılırsa:
b=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡x=c⋅(sin⁡x+cos⁡x)b = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} = c \cdot (\sin x + \cos x) elde edilir.

x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında sin⁡x>22\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2} ve cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan sin⁡x+cos⁡x>1\sin x + \cos x > 1 olur. c>0c > 0 olduğuna göre, b=c⋅(1’den bu¨yu¨k bir sayı)  ⟹  b>cb = c \cdot (\text{1'den büyük bir sayı}) \implies b > c bulunur.
Ortak paydalı rasyonel ifadeleri sadeleştirip karşılaştırmak için özdeşliklerden faydalanılır.
4
Bulunan tüm eşitsizlikleri birleştirerek sıralamayı tamamlama
a<0a < 0, c>0c > 0, b>0b > 0 ve b>cb > c olduğundan a<c<ba < c < b sıralaması elde edilir.
Elde edilen tüm bölgesel ve cebirsel sonuçlar birleştirilerek nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre sıralanması ve temel trigonometrik özdeşliklerin cebirsel analizde kullanılması

Alternatif Yöntem

Alternatif bir yöntem olarak, verilen aralıkta bulunan özel bir açı seçilerek sıralama yapılabilir. Örneğin, x=60∘x = 60^\circ (π3\frac{\pi}{3} radyan) seçilsin:

sin⁡60∘=32≈0.87\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87
cos⁡60∘=0.5\cos 60^\circ = 0.5
tan⁡60∘=3≈1.73\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.73
cot⁡60∘=33≈0.58\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.58
sec⁡60∘=2\sec 60^\circ = 2
csc⁡60∘=233≈1.15\csc 60^\circ = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.15

Bu değerler yerine yazıldığında:
a=0.5−0.87=−0.37a = 0.5 - 0.87 = -0.37
b=1.73−0.58=1.15b = 1.73 - 0.58 = 1.15
c=2−1.15=0.85c = 2 - 1.15 = 0.85

Değerler kıyaslandığında −0.37<0.85<1.15  ⟹  a<c<b-0.37 < 0.85 < 1.15 \implies a < c < b sıralamasına doğrudan ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru