Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları

Bir radyoaktif elementin kalan kütlesi y(t)y(t) gram, başlangıçtaki kütlesi y0y_0 gram ve geçen süre tt gün olmak üzere, bu elementin zamana bağlı bozunma modeli

y(t)=y0⋅(12)t24y(t) = y_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{24}}

formülüyle modellenmektedir.

Bu elementin başlangıçtaki kütlesinin %60\%60'ının bozunarak yok olması için geçen süre t1t_1 gün, %85\%85'inin bozunarak yok olması için geçen süre t2t_2 gündür.

Buna göre, t2−t1t_2 - t_1 farkı kaç gündür?

  1. 72−24log⁡2372 - 24 \log_2 3Cevap
  2. B
    72+24log⁡2372 + 24 \log_2 3
  3. C
    72log⁡23\frac{72}{\log_2 3}
  4. D
    24log⁡23−7224 \log_2 3 - 72
  5. E
    48

Cevap

72−24log⁡2372 - 24 \log_2 3 gün
Doğru yanıt olan 72−24log⁡2372 - 24 \log_2 3 ifadesi, sırasıyla kalan kütle oranlarının %40\%40 ve %15\%15 olarak tespit edilip denklemlerin oranlanması ve ardından logaritma özelliklerinin doğru biçimde işletilmesiyle bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
t1t_1 süresi için kalan k��tle oranını belirlemek.
Başlangıçtaki kütlenin %60\%60'ı bozunduğunda geriye kalan kütle %40\%40'ı olur. Buradan y(t1)=0,40⋅y0y(t_1) = 0,40 \cdot y_0 elde edilir.
Bozunma modelinde kalan kütle formülü kullanıldığından kalan oran tespit edilmelidir.
2
t2t_2 süresi için kalan kütle oranını belirlemek.
Başlangıçtaki kütlenin %85\%85'i bozunduğunda geriye kalan kütle %15\%15'i olur. Buradan y(t2)=0,15⋅y0y(t_2) = 0,15 \cdot y_0 elde edilir.
Zamana bağl�� kalan kütle oranını denklemde yerine yazmak için.
3
Elde edilen denklemleri birbirine oranlamak.
y(t2)y(t1)=y0⋅(12)t224y0⋅(12)t124⇒(12)t2−t124=0,150,40=38\frac{y(t_2)}{y(t_1)} = \frac{y_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2}{24}}}{y_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_1}{24}}} \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_2 - t_1}{24}} = \frac{0,15}{0,40} = \frac{3}{8} denklemine ulaşılır.
Üstel ifadeleri ortak tabanda sadeleştirerek fark değişkenini çekmek için.
4
Üstel ifadeyi logaritma kullanarak çözmek.
2−t2−t124=38⇒2t2−t124=832^{-\frac{t_2 - t_1}{24}} = \frac{3}{8} \Rightarrow 2^{\frac{t_2 - t_1}{24}} = \frac{8}{3} olur. Buradan taban 2 alınarak logaritma uygulanırsa, t2−t124=log⁡2(83)\frac{t_2 - t_1}{24} = \log_2\left(\frac{8}{3}\right) elde edilir.
Bilinmeyen üssü logaritma yardımıyla yalnız bırakmak için.
5
Logaritma bölme özelliğini uygulayıp t2−t1t_2 - t_1 farkını yalnız bırakmak.
t2−t124=log⁡28−log⁡23=3−log⁡23⇒t2−t1=24⋅(3−log⁡23)=72−24log⁡23\frac{t_2 - t_1}{24} = \log_2 8 - \log_2 3 = 3 - \log_2 3 \Rightarrow t_2 - t_1 = 24 \cdot (3 - \log_2 3) = 72 - 24 \log_2 3 olarak bulunur.
İfadenin en sade halini elde etmek ve istenen farkı bulmak için.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik modellerde yarı ömür, yüzdesel bozunma oranları ve logaritma bölme özelliğinin gerçek hayat problemlerine uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları