Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları

Bir ekosistem araştırmasında, bir adadaki kuş türü sayısı SS ile adanın yüz ölçümü AA (km2\text{km}^2 cinsinden) arasında CC ve zz pozitif sabitler olmak üzere,

log⁡S=log⁡C+z⋅log⁡A\log S = \log C + z \cdot \log A

bağıntısı olduğu modellenmiştir.

Bu araştırma kapsamında incelenen adalardan:
* Yüz ölçümü 100 km2100\text{ km}^2 olan birinci adada 5050 farklı kuş türü,
* Yüz ölçümü 10 000 km210\,000\text{ km}^2 olan ikinci adada 500500 farklı kuş türü

tespit edilmiştir.

**Buna göre, yüz ölçümü 400 km2400\text{ km}^2 olan benzer özelliklerdeki üçüncü bir adada kaç farklı kuş türü bulunması beklenir?**

  1. A
    25
  2. B
    205
  3. 100Cevap
  4. D
    1000
  5. E
    200

Cevap

Üçüncü adada bulunması beklenen kuş türü sayısı 100'dür.
Üçüncü adanın yüz ölçümü modelde yerine yazıldığında, logaritma kuralları (alog⁡b=log⁡baa \log b = \log b^a ve log⁡x+log⁡y=log⁡(x⋅y)\log x + \log y = \log(x \cdot y)) doğru biçimde uygulandığında tür sayısı 100 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci ve ikinci adaya ait verileri model denklemine yerleştirerek iki denklem elde etmek.
Birinci ada için: log⁡50=log⁡C+z⋅log⁡100⇒log⁡50=log⁡C+2z\log 50 = \log C + z \cdot \log 100 \Rightarrow \log 50 = \log C + 2z
İkinci ada için: log⁡500=log⁡C+z⋅log⁡10 000⇒log⁡500=log⁡C+4z\log 500 = \log C + z \cdot \log 10\,000 \Rightarrow \log 500 = \log C + 4z
Modeldeki bilinmeyen CC ve zz sabitlerini bulabilmek için iki farklı durumun verilerini kullanırız.
2
Elde edilen denklemleri taraf tarafa çıkararak zz sabitini hesaplamak.
(\log C + 4z) - (\log C + 2z) = \log 500 - \log 50
2z=log⁡(50050)=log⁡10=1⇒z=0,52z = \log\left(\frac{500}{50}\right) = \log 10 = 1 \Rightarrow z = 0,5 bulunur.
log⁡C\log C terimini yok etmek ve logaritmanın bölme özelliğini kullanarak zz değerini çekmek için çıkarma işlemi yapılır.
3
z=0,5z = 0,5 değerini denklemlerden birinde yerine yazarak CC sabitini bulmak.
log⁡50=log⁡C+2(0,5)⇒log⁡50=log⁡C+1⇒log⁡C=log⁡50−log⁡10=log⁡5⇒C=5\log 50 = \log C + 2(0,5) \Rightarrow \log 50 = \log C + 1 \Rightarrow \log C = \log 50 - \log 10 = \log 5 \Rightarrow C = 5 bulunur.
Modeli tamamen belirlemek için diğer bilinmeyen sabiti de bulmamız gerekir.
4
Belirlenen C=5C = 5 ve z=0,5z = 0,5 değerlerini modelde yerine koyup A=400A = 400 için SS değerini hesaplamak.
log⁡S=log⁡5+0,5log⁡400⇒log⁡S=log⁡5+log⁡(4000,5)⇒log⁡S=log⁡5+log⁡20⇒log⁡S=log⁡(100)⇒S=100\log S = \log 5 + 0,5 \log 400 \Rightarrow \log S = \log 5 + \log(400^{0,5}) \Rightarrow \log S = \log 5 + \log 20 \Rightarrow \log S = \log(100) \Rightarrow S = 100 bulunur.
Üçüncü adadaki beklenen kuş türü sayısını elde etmek için güncel model kullanılır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları