Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−53xf(x) = x^3 - \frac{5}{3}x
fonksiyonunun grafiğine üzerindeki bir P(p,f(p))P(p, f(p)) noktasından çizilen teğet doğrusu, bu grafiği başka bir Q(q,f(q))Q(q, f(q)) noktasında kesmektedir.

PP ve QQ noktalarından grafiğe çizilen teğet doğruları birbirine dik olduğuna göre, pp sayısının pozitif değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. 176\frac{\sqrt{17}}{6}Cevap
  2. B
    173\frac{\sqrt{17}}{3}
  3. C
    156\frac{\sqrt{15}}{6}
  4. D
    22\frac{\sqrt{2}}{2}
  5. E
    33\frac{\sqrt{3}}{3}

Cevap

kök 17 bölü 6 olan ifade
Doğru cevap olan ifade, f(x)f(x) eğrisinin PP noktasındaki teğetinin eğriyi kestiği diğer noktanın Q(−2p,f(−2p))Q(-2p, f(-2p)) olduğunu gösterdikten sonra, bu iki noktadaki teğetlerin eğimleri olan 3p2−533p^2 - \frac{5}{3} ve 12p2−5312p^2 - \frac{5}{3} değerlerinin çarpımını −1-1'e eşitleyerek elde edilen denklemin pozitif köklerinden biridir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak herhangi bir xx apsisli noktadaki teğet eğimi formülünü bulunuz.
f′(x)=3x2−53f'(x) = 3x^2 - \frac{5}{3}
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
P(p,f(p))P(p, f(p)) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini yazınız.
y−(p3−53p)=(3p2−53)(x−p)  ⟹  y=(3p2−53)x−2p3y - (p^3 - \frac{5}{3}p) = (3p^2 - \frac{5}{3})(x - p) \implies y = (3p^2 - \frac{5}{3})x - 2p^3
Teğet doğrusunun denklemi, eğimi ve üzerindeki PP noktası kullanılarak y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) formülüyle elde edilir.
3
Teğet doğrusu ile eğrinin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri ortak çözünüz.
x3−53x=(3p2−53)x−2p3  ⟹  x3−3p2x+2p3=0  ⟹  (x−p)2(x−q)=0x^3 - \frac{5}{3}x = (3p^2 - \frac{5}{3})x - 2p^3 \implies x^3 - 3p^2 x + 2p^3 = 0 \implies (x-p)^2(x-q) = 0
Teğet noktası çift katlı kök olduğundan denklem (x−p)2(x−q)=0(x-p)^2(x-q) = 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler toplamı ilişkisinden 2p+q=0  ⟹  q=−2p2p + q = 0 \implies q = -2p elde edilir.
4
PP ve QQ noktalarındaki teğet doğrularının eğimlerini bulunuz.
m1=3p2−53m_1 = 3p^2 - \frac{5}{3} ve m2=3(−2p)2−53=12p2−53m_2 = 3(-2p)^2 - \frac{5}{3} = 12p^2 - \frac{5}{3}
Her iki noktadaki teğetlerin eğimleri, o noktaların apsis değerlerinin türev fonksiyonunda yerine yazılmasıyla hesaplanır.
5
Teğetlerin birbirine dik olması şartını uygulayarak pp için denklemi çözünüz.
m1⋅m2=−1  ⟹  (3p2−53)(12p2−53)=−1  ⟹  324p4−225p2+34=0m_1 \cdot m_2 = -1 \implies (3p^2 - \frac{5}{3})(12p^2 - \frac{5}{3}) = -1 \implies 324p^4 - 225p^2 + 34 = 0
Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir. Elde edilen denklem p2p^2 değişkenine göre ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülür.
6
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayırarak pp değerlerini bulunuz.
(36p2−17)(9p2−2)=0  ⟹  p2=1736(36p^2 - 17)(9p^2 - 2) = 0 \implies p^2 = \frac{17}{36} veya p2=29p^2 = \frac{2}{9}
Pozitif pp değerleri 176\frac{\sqrt{17}}{6} veya 23\frac{\sqrt{2}}{3} olarak bulunur. Seçeneklerde bu değerlerden ilki mevcuttur.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğrisi ile kesişim noktalarının tespiti ve türev ile teğet eğimi ilişkisi.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru