Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLimit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri
lim⁡x→π62sin⁡2x+sin⁡x−12sin⁡2x−3sin⁡x+1\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{2\sin^2 x + \sin x - 1}{2\sin^2 x - 3\sin x + 1} limitinin değeri kaçtır?
  1. −3-3Cevap
  2. B
    −13-\frac{1}{3}
  3. C
    33
  4. D
    11
  5. E
    00

Cevap

Limit değeri -3 olarak bulunur.
Limit ifadesinde yerine yazma yapıldığında oluşan 0/0 belirsizliği, pay ve payda kısımlarının çarpanlarına ayrılarak belirsizliğe neden olan ortak çarpanın sadeleştirilmesi ve kalan ifadede limit değerinin hesaplanmasıyla çözülür. Sadeleştirilmiş ifade olan (sin x + 1) / (sin x - 1) limit noktasında -3 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit ifadesinde x = \frac{\pi}{6} değerini yerine yazarak belirsizlik durumunu kontrol edin.
Pay: 2(1/4) + 1/2 - 1 = 0, Payda: 2(1/4) - 3(1/2) + 1 = 0. Böylece 0/0 belirsizliği elde edilir.
Belirsizlik türünü tespit etmek ve çözüm stratejisi belirlemek için ilk adım olarak doğrudan yerine yazma uygulanır.
2
Pay ve paydadaki trigonometrik ifadeleri çarpanlarına ayırın.
2\sin^2 x + \sin x - 1 = (2\sin x - 1)(\sin x + 1) ve 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = (2\sin x - 1)(\sin x - 1) olarak çarpanlarına ayrılır.
Belirsizliğe yol açan (2\sin x - 1) çarpanını sadeleştirebilmek için ifadeleri çarpanlarına ayırmak gerekir.
3
Ortak çarpanları sadeleştirin ve kalan ifadede x = \frac{\pi}{6} yazarak limiti hesaplayın.
\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x + 1}{\sin x - 1} = \frac{1/2 + 1}{1/2 - 1} = \frac{3/2}{-1/2} = -3 elde edilir.
Belirsizliğe neden olan sıfır çarpanı ortadan kaldırıldıktan sonra fonksiyonun o noktadaki limiti kalan ifadenin değeriyle bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadeler içeren limitlerde 0/0 belirsizliğinin çarpanlara ayırma yöntemi ile giderilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Limit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri

Bu konudan daha fazla soru