a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+a} - 3}{x^2 - 9} = b ol… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

a

b

birer gerçel sayı olmak üzere,

\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+a} - 3}{x^2 - 9} = b

olduğuna göre,

a + 36b

toplamı ka��tır?

İstenen toplamın değeri 7'dir.

Limit değerinin gerçel sayı çıkması için paydanın sıfır olduğu durumda payın de sıfır olması gerekir. Buradan

a = 6

elde edilir. Limit ifadesinde payın eşleniği ile çarpma işlemi yapılıp belirsizlik giderildiğinde limit değeri

b = \frac{1}{36}

bulunur. Buradan istenen

a + 36b

değeri

6 + 36 \cdot \frac{1}{36} = 7

olarak hesaplanır.

Pay ve paydanın limit durumunu incelemek

Paydanın limiti 0'dır, limitin var olması için payın limiti de 0 olmalıdır. Buradan

a = 6

bulunur.

x \to 3

için payda sıfır olduğuna göre limitin gerçel sayı çıkması ancak

\frac{0}{0}

belirsizliğiyle mümkündür.

Payı eşleniğiyle çarparak belirsizliği gidermek

İfade

\frac{x-3}{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+6}+3)}

şekline gelir ve

x-3

terimleri sadeleşerek

\frac{1}{(x+3)(\sqrt{x+6}+3)}

elde edilir.

\frac{0}{0}

belirsizliğini oluşturan

x-3

çarpanını sadeleştirmek gerekir.

Limit değerini hesaplamak ve

b

değerini bulmak

b = \frac{1}{(3+3)(\sqrt{3+6}+3)} = \frac{1}{36}

bulunur.

Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine koyma yöntemiyle hesaplanır.

a + 36b

değerini hesaplamak

6 + 36 \cdot \frac{1}{36} = 7

bulunur.

Soru kökündeki istenen cebirsel ifadeyi bulmak.

0/0 belirsizliği içeren rasyonel ifadelerde eşlenik çarpımı yardımıyla limit hesaplama.

Belirsizlik durumlarında L'Hôpital kuralı uygulanabilir. Pay ve paydanın ayrı ayrı türevleri alınırsa:

\lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+6}}}{2x} = \frac{\frac{1}{6}}{6} = \frac{1}{36}

elde edilir. Buradan

b = \frac{1}{36}

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru