Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLimit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→2x2+a−3x2−4=b\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + a} - 3}{x^2 - 4} = b
eşitliği veriliyor.

Buna göre, a+1ba + \frac{1}{b} toplamının değeri kaçtır?

  1. A
    7
  2. B
    8
  3. C
    10
  4. 11Cevap
  5. E
    14

Cevap

Toplamın değeri 11'dir.
Limitin bir gerçel sayı belirtmesi için payda sıfırken payın da sıfır olması (0/0 belirsizliği) gerekir. Buradan a = 5 bulunur. İfade eşleniği ile çarpılıp sadeleştirildiğinde limit değeri b = 1/6 olarak elde edilir. Dolayısıyla a + 1/b toplamı 11 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın sıfıra gitmesi durumunda limitin var olabilmesi için payın da sıfıra gitmesi gerektiğini belirleme.
x = 2 için \lim_{x \to 2} (\sqrt{x^2 + a} - 3) = 0 olmalıdır.
Eğer pay sıfıra gitmeseydi, sayı/0 durumundan limit bir gerçel sayıya eşit olamazdı.
2
a değerini hesaplama.
\sqrt{2^2 + a} - 3 = 0 \implies \sqrt{4 + a} = 3 \implies 4 + a = 9 \implies a = 5
Eşitliğin her iki tarafının karesi alınarak a yalnız bırakılır.
3
a = 5 değerini limit ifadesinde yerine yazıp eşlenik yardımıyla belirsizliği giderme.
\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x^2 + 5} - 3)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}{(x^2 - 4)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{(x^2 - 4)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}
Payın eşleniği ile hem pay hem payda çarpılarak iki kare farkı özdeşliği uygulanır.
4
Ortak terimleri sadeleştirip limiti hesaplama.
\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} = \frac{1}{\sqrt{4 + 5} + 3} = \frac{1}{6}
x^2 - 4 terimleri sadeleşir ve x yerine 2 yazılır. Bu değer b'ye eşittir (b = 1/6).
5
İstenen a + 1/b toplamını bulma.
a + \frac{1}{b} = 5 + 6 = 11
a = 5 ve b = 1/6 değerleri yerlerine konularak toplama işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Limit hesaplamada rasyonel ifadelerde 0/0 belirsizliğinin eşlenik yardımıyla giderilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Limit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri

Bu konudan daha fazla soru