f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} bir fonksiyon olmak üzere, \lim_{x \to 2} \frac{f(x-3) - 4}{x… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}

bir fonksiyon olmak üzere,

\lim_{x \to 2} \frac{f(x-3) - 4}{x^2 - 4} = \frac{1}{8}

olduğuna göre,

\lim_{x \to -1} \frac{f^2(x) - 16}{\sqrt{x+5} - 2}

limitinin değeri kaçtır?

Verilen ilk limit ifadesinde payda sıfıra yaklaştığından limitin varlığı için pay da sıfıra yaklaşmalıdır; buradan

\lim_{x \to -1} f(x) = 4

olduğu bulunur. Paydadaki

x^2-4 = (x-2)(x+2)

ifadesi açılıp limit kuralları uygulandığında

\lim_{x \to -1} \frac{f(x)-4}{x+1} = \frac{1}{2}

elde edilir. İstenen limitte iki kare farkı açılımı yapılarak ve payda

\sqrt{x+5}+2

eşleniğiyle çarpılarak sadeleştirildiğinde sonuç 16 olarak hesaplanır.

Verilen limitten

f(x)

fonksiyonunun

x \to -1

noktasındaki limitini belirlemek.

\lim_{x \to 2} f(x-3) = 4

yani

u = x-3

dönüşümüyle

\lim_{x \to -1} f(x) = 4

elde edilir.

Payda

x \to 2

için sıfır olduğundan limitin bir gerçek sayı belirtmesi için payın da sıfır olması gerekir.

İlk limit ifadesini çarpanlarına ayırıp düzenleyerek

\lim_{x \to -1} \frac{f(x) - 4}{x+1}

değerini bulmak.

\lim_{x \to 2} \frac{f(x-3) - 4}{x-2} \cdot \frac{1}{x+2} = \frac{1}{8} \implies \lim_{x \to 2} \frac{f(x-3) - 4}{x-2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \implies \lim_{x \to -1} \frac{f(x) - 4}{x+1} = \frac{1}{2}

bulunur.

Belirsizlik içeren terimlerin limit değerini belirlemek için sadeleştirme işlemi uygulanır.

İstenen limiti iki kare farkı açılımı ve paydanın eşleniği ile çarparak düzenlemek ve hesaplamak.

\lim_{x \to -1} \frac{f^2(x) - 16}{\sqrt{x+5} - 2} = \lim_{x \to -1} \frac{f(x)-4}{x+1} \cdot (f(x)+4) \cdot (\sqrt{x+5}+2) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16

bulunur.

0/0 belirsizliğini ortadan kaldırmak için pay çarpanlara ayrılır, payda ise eşleniğiyle çarpılarak sadeleştirilir.

0/0 Belirsizliği ve Limit Hesaplama Teknikleri

Soru