Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x−cos⁡xb=cos⁡x−tan⁡xc=sin⁡x−cot⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \cos x - \tan x \\ c &= \sin x - \cot x \end{aligned}
ifadelerinin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
  1. 1cc
  2. 2bb
  3. 3aa

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Verilen x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığı için sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x negatif, tan⁡x\tan x ve cot⁡x\cot x ise pozitif değerler alır. Bu aralıkta sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x olduğundan a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x ifadesi pozitif bir sayıdır. bb ve cc ifadelerinde ise negatif değerlerden pozitif değerler çıkarıldığı için sonuçlar negatiftir. c=sin⁡x−cot⁡xc = \sin x - \cot x ifadesinde cot⁡x>1\cot x > 1 olduğundan sonuç −1-1'den küçüktür. b=cos⁡x−tan⁡xb = \cos x - \tan x ise cc'den daha büyüktür. Bu nedenle sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve sınırlarını belirlemek.
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığı 3. bölgededir. Bu aralıkta sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 olur. Ayrıca bu aralıkta cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 ve cot⁡x>1>tan⁡x>0\cot x > 1 > \tan x > 0 eşitsizlikleri geçerlidir.
3. bölgede birim çember üzerindeki koordinatlar negatiftir ve açının π\pi ile 5π4\frac{5\pi}{4} arasında olması, cos⁡x\cos x değerinin mutlak değerce sin⁡x\sin x değerinden büyük olmasını gerektirir.
2
a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x ifadesinin işaretini belirlemek.
sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x olduğundan, a=sin⁡x−cos⁡x>0a = \sin x - \cos x > 0 olur (pozitiftir).
Daha büyük bir negatif sayıdan daha küçük bir negatif sayı çıkarıldığında sonuç daima pozitif olur.
3
b=cos⁡x−tan⁡xb = \cos x - \tan x ve c=sin⁡x−cot⁡xc = \sin x - \cot x ifadelerinin değer aralıklarını karşılaştırmak.
bb ifadesinde negatif bir değerden pozitif bir değer çıkarıldığı için b<0b < 0 olur. cc ifadesinde de negatif bir değerden 11'den büyük pozitif bir değer çıkarıldığı için c<−1c < -1 olur. Bu iki negatif terim karşılaştırıldığında b>cb > c olduğu görülür.
b−c=(cos⁡x−tan⁡x)−(sin⁡x−cot⁡x)=(cos⁡x−sin⁡x)+(cot⁡x−tan⁡x)b - c = (\cos x - \tan x) - (\sin x - \cot x) = (\cos x - \sin x) + (\cot x - \tan x) ifadesinde cot⁡x−tan⁡x\cot x - \tan x farkı pozitif ve mutlak değerce çok daha baskın olduğundan sonuç pozitif çıkar, bu da b>cb > c olduğunu kanıtlar.

Anahtar Kavram

3. bölgede trigonometrik fonksiyonların işaretleri, değer aralıkları ve sıralama kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru