Examkin

Soru

Zorluk: ZorToplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

Bir teknoloji şirketinde çalışan 5 farklı yazılım mühendisi; Yapay Zeka, Siber Güvenlik ve Veri Analizi departmanlarından birine görevlendirilecektir.

Bu görevlendirmeyle ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:
- Her mühendis yalnız bir departmana görevlendirilecektir.
- Yapay Zeka departmanına en az bir mühendis görevlendirilmelidir.
- Siber Güvenlik departmanına en fazla iki mühendis görevlendirilebilir.
- Veri Analizi departmanına görevlendirilecek mühendis sayısı ile ilgili bir sınırlandırma yoktur.

Buna göre, bu 5 mühendis departmanlara kaç farklı şekilde görevlendirilebilir?

  1. A
    144
  2. B
    160
  3. 176Cevap
  4. D
    192
  5. E
    211

Cevap

5 farklı yazılım mühendisinin belirtilen koşullar altında departmanlara görevlendirilebileceği farklı yolların sayısı 176'dır.
Koşullara uygun görevlendirme sayısı, tüm olası görevlendirmelerden (243243) kuralları ihlal eden istenmeyen durumların (6767) çıkarılmasıyla 176176 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam görevlendirme sayısını hesaplamak
35=2433^5 = 243
Hiçbir koşul olmadan 5 farklı mühendisin 3 farklı departmana dağıtılması çarpma yoluyla sayma ilkesine göre 3×3×3×3×3=353 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5 farklı şekilde gerçekleşir.
2
Yapay Zeka departmanına hiç mühendis atanmadığı (A=0A = 0) istenmeyen durumları hesaplamak
25=322^5 = 32
Mühendislerin sadece Siber Güvenlik (BB) ve Veri Analizi (CC) departmanlarına atanması durumudur.
3
Siber Güvenlik departmanına en az 3 mühendis atandığı (B≥3B \geq 3) istenmeyen durumları hesaplamak
40+10+1=5140 + 10 + 1 = 51
B departmanına 3 mühendis atanırsa (53)×22=40\binom{5}{3} \times 2^2 = 40 durum; 4 mühendis atanırsa (54)×21=10\binom{5}{4} \times 2^1 = 10 durum; 5 mühendis atanırsa (55)×20=1\binom{5}{5} \times 2^0 = 1 durum oluşur. Toplamda 51 durumdur.
4
Hem Yapay Zeka departmanına hiç mühendis atanmayan hem de Siber Güvenlik departmanına en az 3 mühendis atanan (A=0A = 0 ve B≥3B \geq 3) kesişim durumlarını hesaplamak
10+5+1=1610 + 5 + 1 = 16
Mühendisler sadece B ve C'ye atanırken B'ye 3, 4 veya 5 mühendis gitmesi durumudur. B'ye 3 mühendis için (53)=10\binom{5}{3} = 10 durum, 4 mühendis için (54)=5\binom{5}{4} = 5 durum, 5 mühendis için (55)=1\binom{5}{5} = 1 durum bulunur.
5
Kümelerdeki birleşim formülü ile toplam istenmeyen durum sayısını hesaplamak
32+51−16=6732 + 51 - 16 = 67
İki istenmeyen durumun birleşiminin eleman sayısı ∣X∪Y∣=∣X∣+∣Y∣−∣X∩Y∣|X \cup Y| = |X| + |Y| - |X \cap Y| formülüyle bulunur.
6
İstenen durum sayısını bulmak
243−67=176243 - 67 = 176
Tüm durumlardan kısıtlamaları ihlal eden tüm istenmeyen durumların çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

İstenmeyen durumların tüm durumlardan çıkarılması (tümleyen yöntemi) ve kümelerin birleşimi ilkesinin saymada kullanılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

Bu konudan daha fazla soru