Examkin

Soru

Zorluk: ZorToplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

Aşağıda sol sütunda verilen sayma problemlerini, sağ sütunda verilen doğru matematiksel hesaplama ifadeleriyle eşleştiriniz.

  • Bir AA kentinden BB kentine 3 farklı yol, BB kentinden CC kentine 4 farklı yol vardır. Ayrıca AA kentinden CC kentine BB'ye uğramadan giden 2 farklı doğrudan yol bulunmaktadır. AA'dan CC'ye gidip tekrar AA'ya dönecek olan bir kişi, giderken kullandığı hiçbir yol parçasını dönerken tekrar kullanmamak koşuluyla bu gidiş-dönüşü kaç farklı şekilde gerçekleştirebilir?2×13+12×82 \times 13 + 12 \times 8
  • {0,1,2,3,4,5}\{0, 1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek rakamları farklı, 3 basamaklı ve en az iki basamağındaki rakamın toplamı çift sayı olan kaç farklı doğal sayı vardır?5×5×45 \times 5 \times 4
  • Birer adet kırmızı, mavi, yeşil ve sarı kart arasından seçilen 3 kart, yan yana duran 3 boş kutuya her kutuda en fazla bir kart olacak şekilde yerleştirilecektir. Yeşil ve sarı kartların her ikisinin de seçilip kutulara yerleştirildiği durumlarda bu iki kartın yan yana olmaması koşuluyla bu yerleştirme kaç farklı şekilde yapılabilir?4×3×2−234 \times 3 \times 2 - 2^3
  • Bir menüde 3 farklı çorba, 4 farklı ana yemek ve 3 farklı tatlı seçeneği bulunmaktadır. Her bir gruptan en fazla birer adet seçmek ve en az iki farklı gruptan sipariş vermek koşuluyla bir müşteri siparişini kaç farklı şekilde oluşturabilir?3×4×3+3×4+3×3+4×33 \times 4 \times 3 + 3 \times 4 + 3 \times 3 + 4 \times 3

Cevap

Eşleştirmeler sırasıyla: Birinci problem için 2×13+12×82 \times 13 + 12 \times 8, ikinci problem için 5×5×45 \times 5 \times 4, üçüncü problem için 4×3×2−234 \times 3 \times 2 - 2^3 ve dördüncü problem için 3×4×3+3×4+3×3+4×33 \times 4 \times 3 + 3 \times 4 + 3 \times 3 + 4 \times 3 şeklindedir.
Verilen problemlerın her biri toplama ve çarpma yoluyla sayma ilkelerinin doğru uygulanmasıyla çözülür. Eşleştirmelerde her bir probleme ait doğru matematiksel ifade verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci problemde gidiş yolları doğrudan (22 yol) ve BB üzerinden (1212 yol) olmak üzere ikiye ayrılır. Dönüşte kullanılan yol parçalarının tekrar kullanılamaması koşulundan hareketle, doğrudan gidiş durumunda dönüş için 1313 yol; dolaylı gidiş durumunda dönüş için 88 yol kaldığı hesaplanır.
Gidiş-dönüş yolları 2×13+12×8=1222 \times 13 + 12 \times 8 = 122 farklı şekilde seçilir.
Toplama ve çarpma yoluyla sayma kuralları ayrık durumlar için toplanarak, ardışık adımlar için çarpılarak uygulanır.
2
İkinci problemde en az iki basamaktaki rakamın toplamının çift olması için en az iki rakamın aynı paritede olması gerektiği saptanır. 3 basamaklı bir sayıda iki parite türü (tek/çift) bulunduğünden, her durumda en az iki rakam aynı paritededir ve toplamları çifttir.
Koşulu sağlayan sayıların sayısı, kümedeki rakamlarla yazılabilecek tüm rakamları farklı 3 basamaklı sayıların sayısına eşittir ve miktarı 5×5×4=1005 \times 5 \times 4 = 100 adettir.
Koşulun tüm rakamları farklı 3 basamaklı sayılar için daima sağlandığı gösterilir.
3
Üçüncü problemde tüm olası yerleşimlerin sayısından, istenmeyen durumların (yeşil ve sarı kartın yan yana geldiği durumlar) sayısı çıkarılır.
Yerleşim sayısı 4×3×2−23=164 \times 3 \times 2 - 2^3 = 16 olarak hesaplanır.
İstenen durumları bulmak için tüm durumlardan tüm istenmeyen durumları çıkarmak daha kolay ve hatasız bir yöntemdir.
4
Dördüncü problemde en az iki yemek grubundan sipariş verme koşulu; tüm grupların seçilmesi (Çorba-Yemek-Tatlı) ile ikili grup seçimlerinin (Çorba-Yemek, Çorba-Tatlı, Yemek-Tatlı) durum sayılarının toplanmasıyla elde edilir.
Toplam sipariş seçeneği sayısı 3×4×3+3×4+3×3+4×3=693 \times 4 \times 3 + 3 \times 4 + 3 \times 3 + 4 \times 3 = 69 olur.
Birbirinden bağımsız durumlar toplanarak genel toplam elde edilir.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma İlkeleri ve Koşullu Sayma Problemleri

Alternatif Yöntem

İkinci problemde parite mantığını kullanmak yerine, tüm basamakların farklı paritede olma durumunu (yani bir basamağın çift, diğerlerinin tek veya tam tersi) inceleyerek de hiçbir durumun bu şartı bozmadığını doğrudan görebiliriz.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

Bu konudan daha fazla soru