Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorToplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

Aykut, {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin elemanlarını istendiği kadar kullanarak 4 haneli bir şifre oluşturacaktır. Oluşturulacak şifrenin hanelerindeki rakamlar için aşa��ıdaki kurallar belirlenmiştir:

* Şifrede yan yana bulunan herhangi iki hanedeki rakamlar birbirinden farklı olmalıdır.
* Şifreyi oluşturan tüm rakamların toplamı bir çift sayı olmalıdır.

Buna göre, Aykut bu kurallara uygun kaç farklı şifre oluşturabilir?

  1. A
    72
  2. B
    98
  3. C
    138
  4. D
    160
  5. 164Cevap

Cevap

164
Şifreyi oluşturan rakamların toplamının çift olması için kullanılan tek rakamların adedi çift sayıda olmalıdır. Buna göre şifrelerin parite dağılımları TTTT, ÇÇÇÇ veya 2T ve 2Ç rakam içeren 6 farklı dizilim (TTÇÇ, TÇTÇ, TÇÇT, ÇTTÇ, ÇTÇT, ÇÇTT) şeklinde olabilir. Her dizilim için çarpma yoluyla sayma uygulanıp yan yana aynı rakamın gelmeme koşulu yansıtıldığında sırasıyla 24, 2 ve 138 durum elde edilir. Bu durumların toplamı 164'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Parite (Teklik-Çiftlik) durumlarının analizi
Dört rakamın toplamının çift olması için şifredeki tek rakamların (T) sayısı çift olmalıdır. Bu durumlar: 4 adet tek (TTTT), 0 adet tek (ÇÇÇÇ) ve 2 adet tek ile 2 adet çift (2T, 2Ç) şeklindedir. Kümedeki tek rakamlar {1,3,5}\{1, 3, 5\} (3 adet), çift rakamlar ise {2,4}\{2, 4\} (2 adet) tanedir.
Toplama yoluyla sayma yapabilmek için tüm olası durumları ayrık sınıflara ayırmamız gerekir.
2
TTTT (4 Tek Rakam) durumunun hesaplanması
3×2×2×2=243 \times 2 \times 2 \times 2 = 24 farklı şifre.
İlk hane için 3 tek rakamdan biri seçilir. Yan yana gelen rakamlar farklı olacağı için sonraki her hane için bir önceki hanede kullanılan rakam dışındaki 2 tek rakam seçilebilir.
3
ÇÇÇÇ (4 Çift Rakam) durumunun hesaplanması
2×1×1×1=22 \times 1 \times 1 \times 1 = 2 farklı şifre.
İlk hane için 2 çift rakamdan biri seçilir. Yan yana gelenler farklı olacağı için sonraki her haneye yalnızca bir önceki hanede kullanılmayan tek kalan çift rakam yazılabilir.
4
2 Tek (T) ve 2 Çift (Ç) Rakam Durumunun Dizilimlere Göre Hesaplanması
Dizilimler ve durum sayıları:
* TTÇÇ: 3×2×2×1=123 \times 2 \times 2 \times 1 = 12
* TÇTÇ: 3×2×3×2=363 \times 2 \times 3 \times 2 = 36
* TÇÇT: 3×2×1×3=183 \times 2 \times 1 \times 3 = 18
* ÇTTÇ: 2×3×2×2=242 \times 3 \times 2 \times 2 = 24
* ÇTÇT: 2×3×2×3=362 \times 3 \times 2 \times 3 = 36
* ÇÇTT: 2×1×3×2=122 \times 1 \times 3 \times 2 = 12

Bu durumların toplamı: 12+36+18+24+36+12=13812 + 36 + 18 + 24 + 36 + 12 = 138 farklı şifre.
Aynı paritedeki rakamlar yan yana geldiğinde bir önceki rakam hariç tutulurken, farklı pariteler yan yana geldiğinde kümedeki tüm elemanlar seçilebilir.
5
Toplam olası şifre sayısının bulunması
Toplam şifre sayısı: 24+2+138=16424 + 2 + 138 = 164 olur.
Ayrık durumların sayıları toplama yoluyla sayma kuralı gereği toplanır.

Anahtar Kavram

Koşullu durumlarda toplama ve çarpma yoluyla sayma prensiplerinin birlikte uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

Bu konudan daha fazla soru