Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKosinüs Teoremi

Şekildeki ABCABC ve CDECDE üçgenlerinin CC köşesi ortaktır. A,C,EA, C, E noktaları ile B,C,DB, C, D noktaları sırasıyla doğrusaldır.

∣AC∣=4 birim|AC| = 4\text{ birim}, ∣BC∣=6 birim|BC| = 6\text{ birim}, ∣AB∣=4 birim|AB| = 4\text{ birim}, ∣CD∣=5 birim|CD| = 5\text{ birim} ve ∣CE∣=8 birim|CE| = 8\text{ birim} olduğuna göre, ∣DE∣|DE| kaç birimdir?

  1. A
    59\sqrt{59}
  2. B
    149\sqrt{149}
  3. 29\sqrt{29}Cevap
  4. D
    3 11\sqrt{11}
  5. E
    89\sqrt{89}

Cevap

29\sqrt{29}
Ortak CC köşesinde oluşan ters açıların kosinüs değerleri birbirine eşittir. İlk üçgende tüm kenar uzunlukları bilindiği için Kosinüs Teoremi yardımıyla ortak açının kosinüsü 34\frac{3}{4} olarak hesaplanır. Ardından ikinci üçgende bu kosinüs değeri ve verilen kenarlar kullanılarak Kosinüs Teoremi tekrar uygulanır ve bilinmeyen kenar uzunluğu 29\sqrt{29} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak olan CC köşesindeki ters açılardan yola çıkarak m(ACB^)=m(DCE^)=αm(\widehat{ACB}) = m(\widehat{DCE}) = \alpha olduğunu belirleyelim.
İki üçgenin de tepe açısı eşittir ve kosinüs değerleri aynıdır.
Kosinüs Teoremi'ni her iki üçgende de uygulayabilmek için ortak açının belirlenmesi gerekir.
2
ABCABC üçgeninde ABAB kenarına göre Kosinüs Teoremi formülünü uygulayarak cos⁡(α)\cos(\alpha) değerini hesaplayalım.
∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2−2⋅∣AC∣⋅∣BC∣⋅cos⁡(α)|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos(\alpha)
42=42+62−2⋅4⋅6⋅cos⁡(α)4^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(\alpha)
16=16+36−48cos⁡(α)16 = 16 + 36 - 48\cos(\alpha)
48cos⁡(α)=36  ⟹  cos⁡(α)=3448\cos(\alpha) = 36 \implies \cos(\alpha) = \frac{3}{4}
CDECDE üçgeninde bilinmeyen kenarı bulmak için bu ortak açının kosinüs değerine ihtiyaç vardır.
3
CDECDE üçgeninde DEDE kenarı için Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım.
∣DE∣2=∣CD∣2+∣CE∣2−2⋅∣CD∣⋅∣CE∣⋅cos⁡(α)|DE|^2 = |CD|^2 + |CE|^2 - 2 \cdot |CD| \cdot |CE| \cdot \cos(\alpha)
∣DE∣2=52+82−2⋅5⋅8⋅34|DE|^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{3}{4}
∣DE∣2=25+64−80⋅34|DE|^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{3}{4}
∣DE∣2=89−60=29  ⟹  ∣DE∣=29 birim|DE|^2 = 89 - 60 = 29 \implies |DE| = \sqrt{29}\text{ birim}
Kosinüs Teoremi yardımıyla bilinmeyen kenarın uzunluğu elde edilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi ve Ters Açılar
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru