Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSinüs Teoremi
Bir ABCABC üçgeninde aa, bb ve cc sırasıyla AA, BB ve CC açılarının karşılarındaki kenar uzunluklarıdır.
Bu üçgende,
b⋅cos⁡C+c⋅cos⁡B=63b \cdot \cos C + c \cdot \cos B = 6\sqrt{3}
bağıntısı sağlanmaktadır.
Üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı 66 birim olduğuna göre, AA dar açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevap: 60 derece

Cevap

A dar açısının ölçüsü 60 derecedir.
Üçgende kenarlar arasındaki projeksiyon bağıntısı gereği bcos⁡C+ccos⁡B=ab \cos C + c \cos B = a eşitliği yazılabilir. Buradan a=63a = 6\sqrt{3} birim elde edilir. Sinüs teoremine göre asin⁡A=2R\frac{a}{\sin A} = 2R olduğundan, yarıçap R=6R = 6 için 63sin⁡A=12\frac{6\sqrt{3}}{\sin A} = 12 eşitliği kurulur. Buradan sin⁡A=32\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir. AA açısı dar açı olarak belirtildiği için ölçüsü 60 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Projeksiyon formülünü kullanarak a kenar uzunluğunu belirleyin.
a=63a = 6\sqrt{3}
Bir üçgende herhangi bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın komşu açılarla olan kosinüs bileşenlerinin toplamına eşittir (a=bcos⁡C+ccos⁡Ba = b \cos C + c \cos B).
2
Sinüs teoreminde bilinen değerleri yerine yazarak sin A değerini elde edin.
sin⁡A=32\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}
Sinüs teoremine göre bir üçgenin kenar uzunluğu, o kenarın karşısındaki açının sinüs değerine bölündüğünde çevrel çemberin çapına (2R2R) eşit olur.
3
Sinüs değeri 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan dar açının ölçüsün�� derece cinsinden bulun.
A=60∘A = 60^\circ
0∘<A<90∘0^\circ < A < 90^\circ aralığında sinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan açı 60 derecedir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Kenar Projeksiyon Bağıntıları
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru