Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
K=sin⁡x+cos⁡xK = \sin x + \cos x
L=sin⁡x⋅cos⁡xL = \sin x \cdot \cos x
M=tan⁡x+cot⁡xM = \tan x + \cot x

olarak tanımlanıyor. Buna göre; KK, LL ve MM değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayın��z.

  1. 1K
  2. 2L
  3. 3M

Cevap

Verilen aralıkta bulunan değerlerin do��ru sıralaması K < L < M şeklindedir.
Verilen açı aralığında sinüs ve kosinüs negatif değerler alırken, tanjant ve kotanjant pozitif değerler alır. İki negatif değerin toplamı olan ilk ifade negatif, çarpımları olan ikinci ifade pozitif fakat yarım değerden küçük, tanjant ile kotanjantın toplamı olan üçüncü ifade ise 2'den büyüktür. Bu durum en küçük değerin negatif olan ifade, en büyük değerin ise 2'den büyük olan ifade olmasını gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1
Aç��nın bulunduğu bölgeyi belirleme ve trigonometrik fonksiyonların işaretlerini analiz etme
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı birim çemberde üçüncü bölgenin ikinci yarısına denk gelir. Bu bölgede: sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 olur.
Sıralama yapabilmek için öncelikle fonksiyonların bu bölgedeki işaretlerini ve sınır değerlerini belirlememiz gerekir.
2
K ifadesinin değer aralığını bulma
K=sin⁡x+cos⁡xK = \sin x + \cos x ifadesinde her iki terim de negatif olduğundan K<0K < 0 olur. Hatta bu aralıkta K∈(−2,−1)K \in (-\sqrt{2}, -1) aralığındadır.
Negatif iki sayının toplamının daima negatif olmasından yararlanılır.
3
L ifadesinin değer aralığını bulma
L=sin⁡x⋅cos⁡xL = \sin x \cdot \cos x ifadesinde negatif iki sayının çarpımı pozitif olacağından L>0L > 0 olur. Yarım açı formülünden L=sin⁡(2x)2L = \frac{\sin(2x)}{2} yazılabilir. 2x∈(5π2,3π)2x \in \left(\frac{5\pi}{2}, 3\pi\right) yani ikinci bölgeye düştüğü için sin⁡(2x)∈(0,1]\sin(2x) \in (0, 1] olur. Buradan L∈(0,05]L \in (0, 0{}5] elde edilir.
Çarpım durumundaki sinüs ve kosinüs değerlerinin sınırlarını yarım açı formülüyle belirlemek kolaylık sağlar.
4
M ifadesinin değer aralığını bulma
M=tan⁡x+cot⁡xM = \tan x + \cot x ifadesinde, üçüncü bölgenin bu kısmında tan⁡x>1\tan x > 1 ve cot⁡x<1\cot x < 1'dir. Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği (AM-GM) veya özdeşlikler kullanıldığında, pozitif bir sayı ile çarpmaya göre tersinin toplamı en az 2 olur (a+1a≥2a + \frac{1}{a} \ge 2). Dolayısıyla M≥2M \ge 2'dir.
Pozitif reel sayıların kendisi ile tersinin toplamının sınır değer özelliğini kullanarak M değerinin alt sınırını buluruz.
5
Elde edilen aralıkları karşılaştırma
K<0K < 0, 0<L≤050 < L \le 0{}5 ve M≥2M \ge 2 olduğundan K<L<MK < L < M sıralaması elde edilir.
Bulunan alt ve üst sınır değerleri birbiriyle çakışmadığı için kesin sıralama yapılabilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların birim çember üzerindeki bölgelere göre işaret ve değer aralıklarının belirlenmesi.

Alternatif Yöntem

Açıya uygun bir değer seçilerek (örneğin x=240∘x = 240^\circ) yaklaşık değerler hesaplanabilir: sin⁡(240∘)=−32≈−086\sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{}86, cos⁡(240∘)=−05\cos(240^\circ) = -0{}5. Buradan K≈−136K \approx -1{}36, L=043L = 0{}43, M=3+13≈23M = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 2{}3 bulunur ve K<L<MK < L < M şeklinde sıralanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru