Examkin

Soru

Zorluk: ZorParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2ax+a2−a+1f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - a + 1
g(x)=−x2+(4a−2)x−4a2+5a+3g(x) = -x^2 + (4a-2)x - 4a^2 + 5a + 3
parabollerinin tepe noktaları sırasıyla T1T_1 ve T2T_2 olarak verilmektedir.
Buna göre, T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki uzaklığın alabileceği en küçük değer kaç birimdir?
  1. A
    33
  2. B
    22
  3. 5\sqrt{5}Cevap
  4. D
    55
  5. E
    10\sqrt{10}

Cevap

Tepe noktaları arasındaki en küçük uzaklık 5\sqrt{5} birimdir.
Tepe noktalarının koordinatları doğru olarak T1(a,−a+1)T_1(a, -a+1) ve T2(2a−1,a+4)T_2(2a-1, a+4) bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık formülüyle d2=(a−1)2+(2a+3)2=5a2+10a+10d^2 = (a-1)^2 + (2a+3)^2 = 5a^2 + 10a + 10 fonksiyonu elde edilir. Baş katsayısı pozitif olan bu ikinci dereceden fonksiyon en küçük değerini tepe noktasında, yani a=−1a = -1 apsisinde alır. Bu değer yerine yazıldığında d2=5d^2 = 5 olur. Buradan minimum uzaklık 5\sqrt{5} birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T1(r1,k1)T_1(r_1, k_1) koordinatlarını hesaplayınız.
T1(a,−a+1)T_1(a, -a+1) koordinatları bulunur.
f(x)=x2−2ax+a2−a+1f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - a + 1 parabolünde tepe noktasının apsisi r1=−−2a2=ar_1 = -\frac{-2a}{2} = a ve ordinatı k1=f(a)=a2−2a2+a2−a+1=−a+1k_1 = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 - a + 1 = -a+1 olur.
2
g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2(r2,k2)T_2(r_2, k_2) koordinatlarını hesaplayınız.
T2(2a−1,a+4)T_2(2a-1, a+4) koordinatları bulunur.
g(x)=−x2+(4a−2)x−4a2+5a+3g(x) = -x^2 + (4a-2)x - 4a^2 + 5a + 3 parabolünde tepe noktasının apsisi r2=−4a−22(−1)=2a−1r_2 = -\frac{4a-2}{2(-1)} = 2a-1 ve ordinatı k2=g(2a−1)=−(2a−1)2+(4a−2)(2a−1)−4a2+5a+3=a+4k_2 = g(2a-1) = -(2a-1)^2 + (4a-2)(2a-1) - 4a^2 + 5a + 3 = a+4 olur.
3
T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki uzaklığın karesini (d2d^2) bulunuz.
d2=5a2+10a+10d^2 = 5a^2 + 10a + 10 ifadesi elde edilir.
İki nokta arasındaki uzaklık formülünden d2=(r2−r1)2+(k2−k1)2=(2a−1−a)2+(a+4−(−a+1))2=(a−1)2+(2a+3)2d^2 = (r_2 - r_1)^2 + (k_2 - k_1)^2 = (2a - 1 - a)^2 + (a + 4 - (-a + 1))^2 = (a-1)^2 + (2a+3)^2 olur.
4
d2d^2 ikinci dereceden fonksiyonunun tepe noktasını bularak en küçük değerini bulunuz.
d2d^2 ifadesinin en küçük değeri 55 olarak bulunur.
5a2+10a+105a^2 + 10a + 10 ifadesinin simetri ekseni a=−102⋅5=−1a = -\frac{10}{2 \cdot 5} = -1 olup, bu değer yerine yazıldığında en küçük değer 5(−1)2+10(−1)+10=55(-1)^2 + 10(-1) + 10 = 5 olur.
5
Karekök alarak T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki minimum uzaklığı hesaplayınız.
En küçük uzaklık 5\sqrt{5} birimdir.
Uzaklığın karesinin en küçük değeri 55 olduğundan, uzaklığın en küçük değeri 5\sqrt{5} olur.

Anahtar Kavram

Parabollerin tepe noktalarının genel koordinatlarının bulunması, iki nokta arasındaki uzaklığın parametrik olarak ifade edilmesi ve bu uzaklığın minimum değerinin ikinci dereceden fonksiyonların tepe noktası özellikleri kullanılarak bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Bu konudan daha fazla soru