Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(0,π6)x \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) olmak üzere,
a=cos⁡4x−sin⁡4xb=tan⁡2x−cot⁡2xc=tan⁡x1+tan⁡2x\begin{aligned} a &= \cos^4 x - \sin^4 x \\ b &= \tan^2 x - \cot^2 x \\ c &= \frac{\tan x}{1 + \tan^2 x} \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1bb
  2. 2cc
  3. 3aa

Cevap

b < c < a sıralaması doğrudur.
Verilen aralıkta bb ifadesi negatif bir değer alırken, aa ve cc ifadeleri pozitif değerler alır. a=cos⁡(2x)a = \cos(2x) değeri bu aralıkta 0.50.5 ile 11 arasında, c=12sin⁡(2x)c = \frac{1}{2}\sin(2x) değeri ise 00 ile yaklaşık 0.4330.433 arasında olduğundan doğru sıralama en küçükten büyüğe doğru b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
a ifadesini çarpanlarına ayırarak sadeleştiriniz.
a=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)a = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) özdeşliği yazılır. cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 olduğundan a=cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡(2x)a = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x) elde edilir.
Dördüncü dereceden terimleri iki kare farkı özdeşliğiyle daha kolay analiz edilebilir yarım açı formülüne dönüştürmek için.
2
b ifadesinin değer aralığını belirleyiniz.
x∈(0,π6)x \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) aralığında tan⁡x\tan x artan bir fonksiyondur ve 0<tan⁡x<130 < \tan x < \frac{1}{\sqrt{3}} aralığındadır. Bu durumda tan⁡2x<13\tan^2 x < \frac{1}{3} olur. Benzer şekilde cot⁡x>3\cot x > \sqrt{3} olduğundan cot⁡2x>3\cot^2 x > 3 elde edilir. Buradan b=tan⁡2x−cot⁡2x<13−3=−83b = \tan^2 x - \cot^2 x < \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3} bulunur.
Terimin negatif bir değer aldığını ve sayısal sınırını belirlemek için.
3
c ifadesini temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla en sade haline getirip aralığını bulunuz.
1+tan⁡2x=sec⁡2x=1cos⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} özdeşliği kullanıldığında; c=sin⁡xcos⁡x1cos⁡2x=sin⁡xcos⁡x=12sin⁡(2x)c = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) elde edilir. 2x∈(0,π3)2x \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right) aralığında sinüs fonksiyonu pozitif değerler alır ve sin⁡(2x)∈(0,32)\sin(2x) \in \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) olduğundan c∈(0,34)c \in \left(0, \frac{\sqrt{3}}{4}\right) aralığındadır.
Rasyonel trigonometrik ifadeyi sadeleştirip değer kümesini netleştirmek için.
4
Sadeleşen ifadelerin değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı yapınız.
b<−2.67b < -2.67, 0<c<0.4330 < c < 0.433 ve 0.5<a<10.5 < a < 1 aralıkları elde edilmiştir. Bu aralıklar birbirleriyle kesişmediği için b<c<ab < c < a sıralaması bulunur.
Her bir değişken için bulunan kesin eşitsizlik aralıklarını birleştirmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru