Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKombinasyon

A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}

kümesinin 44 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, elemanların çarpımı 55 ile tam bölünürken 88 ile tam bölünmez?

Cevap: 13 adet

Cevap

Kümenin elemanlarının çarpımının 5 ile bölünüp 8 ile bölünmediği 4 elemanlı alt küme sayısı 13'tür.
Çarpımın 5 ile bölünebilmesi için kümede mutlaka 5 bulunmalıdır. 8 ile bölünmemesi için 8 kümede olmamalı ve kalan çift sayılardan 4 ile (2 veya 6) bir arada seçilmemelidir. Geriye kalan 6 elemandan seçilecek 3 eleman için (63)=20\binom{6}{3} = 20 durum vardır. Bu durumlardan 8 ile bölünen {2,4,x}\{2, 4, x\} (4 durum) ve {4,6,y}\{4, 6, y\} (3 durum) olmak üzere 7 durum çıkarıldığında geriye 13 adet küme kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullara göre seçilecek eleman havuzunu belirleme
Seçilen alt kümede 5 elemanı bulunmalı, 8 elemanı ise bulunmamalıdır. Seçim yapılacak elemanlar {1,2,3,4,6,7}\{1, 2, 3, 4, 6, 7\} kümesidir.
Çarpımın 5 ile tam bölünmesi için asal çarpan olarak 5'in bulunması zorunludur. 8 ile tam bölünmemesi için ise doğrudan 8 çarpanı bulunmamalıdır.
2
Kalan elemanlarla yapılabilecek tüm 3 elemanlı seçimlerin sayısını bulma
Toplam olası seçim say��sı (63)=20\binom{6}{3} = 20 adettir.
4 elemanlı kümenin 1 elemanı (5 sayısı) sabitlendiği için kalan 6 elemandan 3 eleman seçilerek kombinasyon oluşturulur.
3
Çarpımı 8'in katı yapan istenmeyen durumları hesaplama
İstenmeyen durum sayısı 4+3=74 + 3 = 7 adettir.
Seçilen elemanlar arasında 4 ile 2'nin veya 4 ile 6'nın bir arada bulunması çarpımı 8'e tam bölünür hale getirir.
4
İstenen durum sayısını hesaplama
İstenen alt küme sayısı 20−7=1320 - 7 = 13 adettir.
Tüm kombinasyonlardan istenmeyen durumların çıkarılması yöntemi kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon hesabı ile koşullu alt küme seçimi ve tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarma prensibi.

Alternatif Yöntem

İkinci bir yol olarak, {1,2,3,4,6,7}\{1, 2, 3, 4, 6, 7\} kümesinden seçilecek 3 elemanı çift sayıların sayısına göre gruplandırarak seçebiliriz:
- Hiç çift sayı seçilmemesi (hepsi {1,3,7}\{1, 3, 7\} arasından): (33)=1\binom{3}{3} = 1 durum.
- Sadece bir çift sayı seçilmesi (2, 4 veya 6'dan biri): (31)×(32)=3×3=9\binom{3}{1} \times \binom{3}{2} = 3 \times 3 = 9 durum.
- İki çift sayı seçilmesi (çarpımın 8'e bölünmemesi için sadece {2,6}\{2, 6\} çifti seçilebilir): (11)×(31)=3\binom{1}{1} \times \binom{3}{1} = 3 durum.
Toplam durum: 1+9+3=131 + 9 + 3 = 13 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyon

Bu konudan daha fazla soru