Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
a=sin⁡4x−cos⁡4xsin⁡x+cos⁡xa = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin x + \cos x}
b=1+2sin⁡xcos⁡x−sin⁡xb = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} - \sin x
c=tan⁡x1+tan⁡2xc = \frac{\tan x}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}

ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1cc ifadesi
  2. 2bb ifadesi
  3. 3aa ifadesi

Cevap

İfadelerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı c,b,ac, b, a şeklindedir.
Verilen aralıkta fonksiyonların işaretleri analiz edildiğinde aa ifadesinin pozitif, bb ve cc ifadelerinin ise negatif olduğu görülür. Negatif olan bb ve cc değerleri karşılaştırıldığında b>cb > c olduğu saptanır. Bu sayede doğru sıralama en küçükten en büyüğe sırasıyla cc, bb ve aa olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştiriniz.
a=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)sin⁡x+cos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡x+cos⁡x=sin⁡x−cos⁡xa = \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} = \sin x - \cos x
Pay kısmında iki kare farkı özdeşliği uygulanmış ve sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 eşitliği kullanılmıştır.
2
bb ifadesini mutlak değer ve bölge özelliklerini dikkate alarak sadeleştiriniz.
b=(sin⁡x+cos⁡x)2−sin⁡x=∣sin⁡x+cos⁡x∣−sin⁡xb = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} - \sin x = |\sin x + \cos x| - \sin x İkinci bölgenin ikinci yarısında yani x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığında sin⁡x<−cos⁡x\sin x < -\cos x olduğundan sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olur. Bu nedenle ifade kök dışına işaret değiştirerek çıkar:
b=−(sin⁡x+cos⁡x)−sin⁡x=−2sin⁡x−cos⁡xb = -(\sin x + \cos x) - \sin x = -2\sin x - \cos x
Kareköklü bir ifadenin dışarıya mutlak değerle çıkması ve ikinci bölgede kosinüsün mutlak değerce sinüsten büyük olmasından dolayı toplamın negatif olması esastır.
3
cc ifadesini sadeleştirerek tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazınız.
1+tan⁡2x=sec⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x olduğundan
c=tan⁡xsec⁡2x=tan⁡x∣sec⁡x∣c = \frac{\tan x}{\sqrt{\sec^2 x}} = \frac{\tan x}{|\sec x|} olur. İkinci bölgede cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan sec⁡x<0\sec x < 0 dır. Dolayısıyla ∣sec⁡x∣=−sec⁡x|\sec x| = -\sec x olur:
c=tan⁡x−sec⁡x=sin⁡xcos⁡x−1cos⁡x=−sin⁡xc = \frac{\tan x}{-\sec x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{-\frac{1}{\cos x}} = -\sin x
Sekant fonksiyonunun ikinci bölgede negatif işaretli olması nedeniyle mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkarılması gerekir.
4
Elde edilen sadeleşmiş a,ba, b ve cc ifadelerini verilen aralıkta karşılaştırarak sıralayınız.
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığında:
- sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan a=sin⁡x−cos⁡x>0a = \sin x - \cos x > 0 dır. Hatta a∈(1,2)a \in (1, \sqrt{2}) aralığındadır.
- bb ve cc ifadeleri ise negatif değerler alır. Bu iki ifadeyi karşılaştırmak için farklarına bakılır:
b−c=(−2sin⁡x−cos⁡x)−(−sin⁡x)=−sin⁡x−cos⁡xb - c = (-2\sin x - \cos x) - (-\sin x) = -\sin x - \cos x
Bu aralıkta sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olduğundan, −sin⁡x−cos⁡x>0-\sin x - \cos x > 0 olur. Dolayısıyla b−c>0  ⟹  b>cb - c > 0 \implies b > c elde edilir.
Bu bilgiler ışığında sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
İfadelerin işaretleri ve birbirleriyle olan farklarının pozitiflik/negatiflik durumları sıralamayı belirler.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin ve mutlak değerce büyüklüklerinin analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru