Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,

a=cos⁡(x)tan⁡(x)csc⁡2(x)−sin⁡(x)csc⁡2(x)−1a = \frac{\cos(x) \tan(x) \csc^2(x) - \sin(x)}{\csc^2(x) - 1}
b=tan⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)b = \frac{\tan(x) - \sin(x)\cos(x)}{\sin^2(x)}
c=sin⁡3(x)+cos⁡3(x)1−sin⁡(x)cos⁡(x)c = \frac{\sin^3(x) + \cos^3(x)}{1 - \sin(x)\cos(x)}

ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. a<b<ca < b < cCevap
  2. B
    b<a<cb < a < c
  3. C
    a<c<ba < c < b
  4. D
    c<a<bc < a < b
  5. E
    b<c<ab < c < a

Cevap

a<b<ca < b < c (sinüs değerinin tanjant değerinden, tanjant değerinin de sinüs ile kosinüs toplamından küçük olduğu sıralama)
Verilen cebirsel trigonometrik ifadeler sadeleştirildiğinde a=sin⁡(x)a = \sin(x), b=tan⁡(x)b = \tan(x) ve c=sin⁡(x)+cos⁡(x)c = \sin(x) + \cos(x) değerleri bulunur. 0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} aralığında, sin⁡(x)<tan⁡(x)<1\sin(x) < \tan(x) < 1 eşitsizliği geçerlidir. Diğer taraftan, aynı aralıkta yer alan açıların sinüs ve kosinüs toplamları daima 11 den büyük bir değere sahip olduğundan en büyük değer cc olur. Bu durumda doğru sıralama küçükten büyüğe doğru a<b<ca < b < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirelim.
a=sin⁡(x)a = \sin(x)
aa ifadesinin payındaki cos⁡(x)tan⁡(x)=sin⁡(x)\cos(x) \tan(x) = \sin(x) yazımı kullanılır. Buradan pay kısmı sin⁡(x)csc⁡2(x)−sin⁡(x)=csc⁡(x)−sin⁡(x)=1sin⁡(x)−sin⁡(x)=1−sin⁡2(x)sin⁡(x)=cos⁡2(x)sin⁡(x)\sin(x) \csc^2(x) - \sin(x) = \csc(x) - \sin(x) = \frac{1}{\sin(x)} - \sin(x) = \frac{1 - \sin^2(x)}{\sin(x)} = \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} olur. Paydada ise csc⁡2(x)−1=cot⁡2(x)=cos⁡2(x)sin⁡2(x)\csc^2(x) - 1 = \cot^2(x) = \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} özdeşliği yerine konulur. İfadeler birbirine oranlandığında cos⁡2(x)sin⁡(x)⋅sin⁡2(x)cos⁡2(x)=sin⁡(x)\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} \cdot \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \sin(x) elde edilir.
2
bb ifadesini sadeleştirelim.
b=tan⁡(x)b = \tan(x)
bb ifadesinin payındaki tan⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) - \sin(x)\cos(x) terimi sin⁡(x)\sin(x) parantezine alınırsa sin⁡(x)(1cos⁡(x)−cos⁡(x))=sin⁡(x)(1−cos⁡2(x)cos⁡(x))=sin⁡3(x)cos⁡(x)\sin(x)\left(\frac{1}{\cos(x)} - \cos(x)\right) = \sin(x)\left(\frac{1 - \cos^2(x)}{\cos(x)}\right) = \frac{\sin^3(x)}{\cos(x)} elde edilir. Bu ifade paydadaki sin⁡2(x)\sin^2(x) terimine bölündüğünde sin⁡3(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)=tan⁡(x)\frac{\sin^3(x)}{\cos(x) \sin^2(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x) sonucuna ulaşılır.
3
cc ifadesini sadeleştirelim.
c=sin⁡(x)+cos⁡(x)c = \sin(x) + \cos(x)
cc ifadesinin payındaki iki küp toplamı ifadesi sin⁡3(x)+cos⁡3(x)=(sin⁡(x)+cos⁡(x))(sin⁡2(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡2(x))\sin^3(x) + \cos^3(x) = (\sin(x) + \cos(x))(\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) + \cos^2(x)) şeklinde çarpanlarına ayrılır. sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 olduğu bilindiğinden, pay kısmı (sin⁡(x)+cos⁡(x))(1−sin⁡(x)cos⁡(x))(\sin(x) + \cos(x))(1 - \sin(x)\cos(x)) halini alır. Paydadaki 1−sin⁡(x)cos⁡(x)1 - \sin(x)\cos(x) terimiyle sadeleşme yapıldığında geriye sadece sin⁡(x)+cos⁡(x)\sin(x) + \cos(x) kalır.
4
Sadeleşen a=sin⁡(x)a = \sin(x), b=tan⁡(x)b = \tan(x) ve c=sin⁡(x)+cos⁡(x)c = \sin(x) + \cos(x) değerlerini x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığı için karşılaştıralım.
a<b<ca < b < c
Birinci bölgenin ilk yarısında (0<x<45∘0 < x < 45^\circ) kosinüs değeri sinüs değerinden büyüktür (0<sin⁡(x)<cos⁡(x)<10 < \sin(x) < \cos(x) < 1). tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} tanımında payda 11 den küçük pozitif bir sayı olduğundan tan⁡(x)>sin⁡(x)\tan(x) > \sin(x) yani b>ab > a olur. Ayrıca bu aralıkta tan⁡(x)<tan⁡(45∘)=1\tan(x) < \tan(45^\circ) = 1 iken sin⁡(x)+cos⁡(x)=2sin⁡(x+45∘)>1\sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2}\sin(x + 45^\circ) > 1 (çünkü 45∘<x+45∘<90∘45^\circ < x + 45^\circ < 90^\circ aralığında sinüs değeri 22\frac{\sqrt{2}}{2} den büyüktür) sağlanır. Buradan c>1c > 1 ve b<1b < 1 olduğundan a<b<ca < b < c sıralaması kesinleşir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Dar Açılarda Sıralama
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru