Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLimit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)

aa ve bb pozitif gerçel sayılar olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={2x+a,x<1bx2+1,1≤x<2ax−b,x≥2f(x) = \begin{cases} 2x + a, & x < 1 \\ b x^2 + 1, & 1 \le x < 2 \\ a x - b, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlan��yor.

ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında limiti olduğuna göre,

lim⁡x→3−f(x−1)+lim⁡x→1+f(f(x))=10\lim_{x \to 3^-} f(x - 1) + \lim_{x \to 1^+} f(f(x)) = 10

eşitliğini sağlayan a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?
  1. A
    1
  2. 2Cevap
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    6

Cevap

Limit varlık ve yönlü yaklaşım kuralları uygulandığında a = 1 ve b = 2 olarak bulunur. Bu değerlerin çarpımı olan 2 doğru cevaptır.
Doğru cevap 2'dir. Fonksiyonun x = 1 noktasındaki limit varlığından b - a = 1 elde edilir. Verilen limit toplamından ise yönlü yaklaşım kuralları kullanılarak 4b + ab = 10 eşitliğine ulaşılır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde pozitif gerçel sayı olan a = 1 ve b = 2 değerleri bulunur. Bu değerlerin çarpımı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
x = 1 noktasındaki limit varlığını incelemek.
b - a = 1 denklemi elde edilir.
Bir noktada limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması gerekir. Sol limit: 2(1) + a = a + 2, Sağ limit: b(1)^2 + 1 = b + 1. Buradan a + 2 = b + 1 ve dolayısıyla b = a + 1 bulunur.
2
Birinci limit terimini (x -> 3'e soldan yaklaşırken f(x - 1)) hesaplamak.
4b + 1
u = x - 1 dönüşümü yapıl��r. x -> 3^- iken x < 3 olduğundan u -> 2^- olur. f(u) fonksiyonunun u -> 2'ye soldan limiti için ortadaki parça kullanılır: b(2)^2 + 1 = 4b + 1.
3
İkinci limit terimini (x -> 1'e sağdan yaklaşırken f(f(x))) hesaplamak.
ab - 1
Önce içteki f(x) limiti incelenir. x -> 1^+ iken 1 < x < 2 olduğundan f(x) = b x^2 + 1 olur. x > 1 ise x^2 > 1 ve b > 0 olduğundan b x^2 + 1 > b + 1 olur. Dolayısıyla f(x) değeri b + 1 değerine sağdan (büyük değerlerle) yaklaşır. Dış limit için v = f(x) dersek, v -> (b + 1)^+ olur. a > 0 olduğundan b = a + 1 > 1 ve b + 1 > 2'dir. Dolayısıyla v > 2 olur ve en alttaki parça kullanılır: a(b + 1) - b = ab + a - b. İlk adımdan a - b = -1 olduğundan bu ifade ab - 1 değerine eşit olur.
4
Limitlerin toplamını verilen değere eşitleyip a ve b değerlerini bulmak.
a = 1 ve b = 2
(4b + 1) + (ab - 1) = 10 => 4b + ab = 10 elde edilir. b = a + 1 yazılırsa: 4(a + 1) + a(a + 1) = 10 => a^2 + 5a - 6 = 0 olur. Bu denklem (a + 6)(a - 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. a pozitif gerçel sayı olduğundan a = 1'dir. Buradan b = 2 bulunur.
5
a ve b değerlerinin çarpımını hesaplamak.
a * b = 2
İstenen a * b çarpımı 1 * 2 = 2 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir parçalı fonksiyonun kritik noktalarında limit varlığı için sağdan ve soldan limitlerin eşitliği incelenir. Ötelenmiş ve bileşke fonksiyonların limitlerinde ise yaklaşım yönü (sağdan/soldan) titizlikle takip edilmelidir.
Bu soruyu puanla

Konular

Limit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)

Bu konudan daha fazla soru