Examkin

Soru

Zorluk: ZorLimit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)={x+1,x<15,x=14−x,1<x<3x2−5x+7,x≥3f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ 5, & x = 1 \\ 4 - x, & 1 < x < 3 \\ x^2 - 5x + 7, & x \geq 3 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
lim⁡x→2+f(f(x+1))+lim⁡x→1−f(f(x−1))\lim_{x \to 2^+} f(f(x + 1)) + \lim_{x \to 1^-} f(f(x - 1))
toplamının değeri kaçtır?
  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Cevap
  4. D
    6
  5. E
    7

Cevap

Limitlerin toplamı 5 değerine eşittir.
Doğru cevap olan 5 değeri, limit ifadelerinde yön takibinin doğru yapılmasıyla bulunur. İlk limitte iç limit 1+1^+ olduğundan dış limit 3'tür. İkinci limitte iç limit 1−1^- olduğundan dış limit 2'dir. Bu iki değerin toplamı 3+2=53 + 2 = 5 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
İlk limit ifadesinde değişken dönüşümü yapılır.
t=x+1t = x + 1 dönüşümü yapıldığında, x→2+x \to 2^+ iken x>2x > 2 olduğundan t→3+t \to 3^+ olur. Limit lim⁡t→3+f(t)\lim_{t \to 3^+} f(t) haline gelir.
Bileşke fonksiyon limitlerinde i��teki ifadenin yaklaşım noktasını ve yönünü belirlemek gerekir.
2
İçteki limitin değeri ve yaklaşım yönü incelenir.
t→3+t \to 3^+ için t≥3t \ge 3 aralığındaki f(t)=t2−5t+7f(t) = t^2 - 5t + 7 parçası kullanılır. Limit değeri 32−5(3)+7=13^2 - 5(3) + 7 = 1 olur. t>3t > 3 iken (t−2.5)2+0.75>1(t-2.5)^2 + 0.75 > 1 olduğundan limit değeri 1'e sağdan yaklaş��r (1+1^+).
Dıştaki fonksiyonun limit yönünü belirlemek için içteki limitin hangi yönden yaklaştığı tespit edilmelidir.
3
Dıştaki limit hesaplanır.
u→1+u \to 1^+ için 1<u<31 < u < 3 aralığındaki f(u)=4−uf(u) = 4 - u parçası kullanılır. Buradan lim⁡u→1+(4−u)=3\lim_{u \to 1^+} (4 - u) = 3 bulunur. ��lk limitin değeri 3'tür.
İç limit 1+1^+ olduğundan dıştaki fonksiyonda 1 noktasına sağdan yaklaşılır.
4
İkinci limit ifadesinde değişken dönüşümü yapılır.
t=x−1t = x - 1 dönüşümü yapıldığında, x→1−x \to 1^- iken x<1x < 1 olduğundan t→0−t \to 0^- olur. Limit lim⁡t→0−f(t)\lim_{t \to 0^-} f(t) haline gelir.
İkinci bileşke ifadede yatay ötelemenin limit noktasını nasıl etkilediği belirlenir.
5
İkinci limitin iç değeri ve yaklaşım yönü incelenir.
t→0−t \to 0^- için t<1t < 1 aralığındaki f(t)=t+1f(t) = t + 1 parçası kullanılır. Limit değeri 0+1=10 + 1 = 1 olur. t<0t < 0 iken t+1<1t + 1 < 1 olduğundan limit değeri 1'e soldan yaklaşır (1−1^-).
Bileşkenin dış basamağı için yaklaşım yönü belirlenmelidir.
6
İkinci limitin dıştaki aşaması hesaplanır.
u→1−u \to 1^- için u<1u < 1 aralığındaki f(u)=u+1f(u) = u + 1 parçası kullanılır. Buradan lim⁡u→1−(u+1)=2\lim_{u \to 1^-} (u + 1) = 2 bulunur. İkinci limitin değeri 2'dir.
İç limit 1−1^- olduğundan dıştaki fonksiyonda 1 noktasına soldan yaklaşılır.
7
Bulunan limit değerleri toplanır.
3+2=53 + 2 = 5 elde edilir.
İki limit ifadesinin toplamı sorulduğu için sonuçlar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların limiti hesaplanırken, içteki fonksiyonun limit değerine yaklaşım yönü (sağdan veya soldan olması) belirlenmeli ve dıştaki limit bu yöne göre çözülmelidir.
Bu soruyu puanla

Konular

Limit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)

Bu konudan daha fazla soru