Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları

Bir nükleer reaktördeki güvenlik kalkanının kalınlığı xx santimetre olup, bu kalkandan dışarı sızan radyasyon miktarı R(x)R(x) (milisievert/saat) olmak üzere,

R(x)=R0⋅e−k⋅xR(x) = R_0 \cdot e^{-k \cdot x}

fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu formülde R0R_0 başlangıçtaki radyasyon miktarını, kk ise kalkanın yapıldığı malzemenin radyasyon soğurma katsayısını göstermektedir.

Bir güvenlik duvarı için k=005 cm−1k = 0{}05 \text{ cm}^{-1} olan bir yalıtım malzemesi kullanılmıştır.

Buna göre, kalkan dışına sızan radyasyon miktarının başlangıçtaki radyasyon miktarına göre %80\%80 oranında azaltılması için kalkanın kalınlığı kaç santimetre olmalıdır?

(ln⁡5≈16\ln 5 \approx 1{}6 alınız.)

Cevap: 32 cm

Cevap

Radyasyon miktarının başlangıçtaki değerine göre %80 oranında azaltılması için kalkanın kalınlığı 32 santimetre olmalıdır.
Kalkan dışına sızan radyasyon miktarının %80 azaltılması, geriye başlangıçtaki radyasyonun %20'sinin kalması anlamına gelir. Bu durumda R(x)=02⋅R0R(x) = 0{}2 \cdot R_0 olur. Formülde yerine yazıp sadeleştirdiğimizde e−005x=02e^{-0{}05 x} = 0{}2 elde edilir. Her iki tarafın doğal logaritmasını aldığımızda 005x=ln⁡50{}05 x = \ln 5 olur. ln⁡5≈16\ln 5 \approx 1{}6 alındığında, 005x=16⇒x=320{}05 x = 1{}6 \Rightarrow x = 32 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kalan radyasyon oranını belirleme.
Geriye kalan radyasyon miktarı başlangıç değerinin %20'sidir (R(x)=020⋅R0R(x) = 0{}20 \cdot R_0).
Soruda radyasyonun %80 oranında azaltılması istendiği için geriye kalan radyasyon miktarı %20 olmalıdır.
2
Model denkleminde verileri yerine yazma.
020⋅R0=R0⋅e−005⋅x0{}20 \cdot R_0 = R_0 \cdot e^{-0{}05 \cdot x}
Radyasyon miktarı R(x)R(x) ve soğurma katsayısı k=005k = 0{}05 formüle yerleştirilir.
3
Denklemi sadeleştirme ve e tabanında logaritma alma.
5−1=e−005⋅x⇒−ln⁡5=−005⋅x5^{-1} = e^{-0{}05 \cdot x} \Rightarrow -\ln 5 = -0{}05 \cdot x
R_0 terimleri sadeleştirilir, 020=5−10{}20 = 5^{-1} olarak yazılır ve her iki tarafın doğal logaritması alınır.
4
Kalınlık değerini hesaplama.
x=32x = 32
ln⁡5≈16\ln 5 \approx 1{}6 değeri yerine yazıldığında 16=005⋅x1{}6 = 0{}05 \cdot x elde edilir, buradan x=32x = 32 bulunur.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyonların logaritma yardımıyla çözülmesi ve gerçek hayat problemlerine uygulanması.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, 02=e−005x0{}2 = e^{-0{}05 x} denklemi 5=e005x5 = e^{0{}05 x} biçiminde yazılabilir. Her iki tarafın doğal logaritma tanımı kullanılarak doğrudan 005x=ln⁡50{}05 x = \ln 5 eşitliğine ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları