Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları

Deniz seviyesinden yüksekliği hh kilometre olan bir yerdeki açık hava basıncı P(h)P(h) (mmHg cinsinden)

P(h)=P0⋅e−k⋅hP(h) = P_0 \cdot e^{-k \cdot h}

formülüyle modellenmektedir. Burada P0P_0 deniz seviyesindeki açık hava basıncını, kk ise pozitif bir sabiti göstermektedir.

Deniz seviyesinde açık hava basıncı 760 mmHg760\text{ mmHg} olup deniz seviyesinden 4 km4\text{ km} yükseklikteki bir dağın zirvesinde açık hava basıncı 380 mmHg380\text{ mmHg} olarak ölçülmüştür.

Buna göre, açık hava basıncının 190 mmHg190\text{ mmHg} olarak ölçüldüğü bir yüksekliğin deniz seviyesinden kaç kilometre olduğunu bulunuz.

Cevap: 8 km

Cevap

Açık hava basıncının 190 mmHg190\text{ mmHg} olduğu yükseklik deniz seviyesinden 8 km8\text{ km}'dir.
Verilen modelde deniz seviyesindeki basınç P0=760P_0 = 760 olarak yerine yazılır. Ardından P(4)=380P(4) = 380 bilgisiyle e−4k=12e^{-4k} = \frac{1}{2} elde edilir. Basıncın 190 mmHg190\text{ mmHg} olması durumu ise e−kh=14e^{-kh} = \frac{1}{4} eşitliğini gerektirir. 14=(12)2\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 ilişkisi kurulduğunda e−kh=e−8ke^{-kh} = e^{-8k} elde edilir ve buradan aranan yükseklik 8 km8\text{ km} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıç değerini formülde yerine yazarak fonksiyonu sadeleştirmek
P(h)=760⋅e−k⋅hP(h) = 760 \cdot e^{-k \cdot h}
Deniz seviyesinde (h=0h = 0) açık hava basıncı 760 mmHg760\text{ mmHg} olarak verildiği için P(0)=P0⋅e0=P0=760P(0) = P_0 \cdot e^0 = P_0 = 760 olur.
2
4 km4\text{ km} yükseklikteki basınç değerini kullanarak üstel ifadenin değerini bulmak
e−4k=12e^{-4k} = \frac{1}{2}
P(4)=380P(4) = 380 olarak verildiği için 760⋅e−4k=380  ⟹  e−4k=380760=12760 \cdot e^{-4k} = 380 \implies e^{-4k} = \frac{380}{760} = \frac{1}{2} elde edilir.
3
Basıncın 190 mmHg190\text{ mmHg} olduğu durum için üstel denklemi kurmak
e−k⋅h=14e^{-k \cdot h} = \frac{1}{4}
P(h)=190P(h) = 190 olması istendiğinden 760⋅e−k⋅h=190  ⟹  e−k⋅h=190760=14760 \cdot e^{-k \cdot h} = 190 \implies e^{-k \cdot h} = \frac{190}{760} = \frac{1}{4} elde edilir.
4
Elde edilen iki üstel ifadeyi ilişkilendirerek bilinmeyen yüksekliği (hh) hesaplamak
h=8h = 8
14=(12)2\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 olduğundan e−k⋅h=(e−4k)2=e−8ke^{-k \cdot h} = \left(e^{-4k}\right)^2 = e^{-8k} yazılır. Tabanlar aynı olduğundan üslerin eşitliğinden −k⋅h=−8k  ⟹  h=8-k \cdot h = -8k \implies h = 8 bulunur.

Anahtar Kavram

Üstel azalış modellerinde başlangıç koşullarının kullanılması ve üs kuralları yardımıyla bilinmeyen değişkenin bulunması.

Alternatif Yöntem

Yarılanma mantığı kullanılarak da çözülebilir. Basınç her 4 km4\text{ km}'de bir yarıya (760→380760 \rightarrow 380) inmektedir. Basıncın 190 mmHg190\text{ mmHg}'ye inmesi için başlangıç değerinin iki kez yarıya inmesi gerekir (760→380→190760 \rightarrow 380 \rightarrow 190). Bu durum iki kez 4 km4\text{ km} yükselmek anlamına gelir ve toplam yükseklik 4+4=8 km4 + 4 = 8\text{ km} olarak doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları