Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları
Bir depremin b��yüklüğü MM ve bu depremde açığa çıkan sismik enerji EE (Joule cinsinden) arasındaki ilişki aşağıdaki formülle modellenmektedir:
log⁡10E=4,8+1,5M\log_{10} E = 4,8 + 1,5M
Aynı bölgede gerçekleşen iki depremden birincisinin büyüklüğü M1M_1, ikincisinin büyüklüğü M2M_2 olmak üzere bu depremlerde açığa çıkan sismik enerjiler sırasıyla E1E_1 ve E2E_2'dir.
Bu iki deprem için;
* Birinci depremde açığa çıkan enerji, ikinci depremde açığa çıkan enerjinin 101010\sqrt{10} katıdır.
* Depremlerin büyüklükleri arasında M12−M22=8M_1^2 - M_2^2 = 8 bağıntısı vardır.
Buna göre, daha büyük olan birinci depremin büyüklüğü (M1M_1) kaçtır?
  1. A
    3,0
  2. B
    3,5
  3. C
    4,0
  4. 4,5Cevap
  5. E
    5,0

Cevap

Daha büyük depremin büyüklüğü 4,5'tir.
İki depremde açığa çıkan enerjilerin oranı E1/E2=1010=101,5E_1/E_2 = 10\sqrt{10} = 10^{1,5} olarak verilir. Logaritma fonksiyonunun çıkarma özelliği kullanılarak log⁡10(E1/E2)=1,5(M1−M2)\log_{10}(E_1/E_2) = 1,5(M_1-M_2) eşitliği elde edilir. Buradan 1,5=1,5(M1−M2)  ⟹  M1−M2=11,5 = 1,5(M_1-M_2) \implies M_1-M_2 = 1 bulunur. İki kare farkı özdeşliği (M12−M22=(M1−M2)(M1+M2)M_1^2-M_2^2 = (M_1-M_2)(M_1+M_2)) kullanılarak M1+M2=8M_1+M_2 = 8 elde edilir. İki bilinmeyenli denklem sistemi ortak çözüldüğünde daha büyük depremin büyüklüğü M1=4,5M_1 = 4,5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İki depremin enerjileri arasındaki E1=1010⋅E2E_1 = 10\sqrt{10} \cdot E_2 bağıntısı kullanılarak oran bulunur.
E1E2=101,5\frac{E_1}{E_2} = 10^{1,5} elde edilir.
Depremlerin açığa çıkardığı sismik enerjilerin oranını bulmak, logaritmik modelde büyüklüklerin farkına ulaşmayı sağlar.
2
Verilen log⁡10E=4,8+1,5M\log_{10} E = 4,8 + 1,5M modelinde iki deprem için denklemler yazılıp taraf tarafa çıkarılır.
log⁡10E1−log⁡10E2=1,5(M1−M2)  ⟹  log⁡10(E1E2)=1,5(M1−M2)\log_{10} E_1 - \log_{10} E_2 = 1,5(M_1 - M_2) \implies \log_{10}\left(\frac{E_1}{E_2}\right) = 1,5(M_1 - M_2) elde edilir.
Logaritma çıkarma kuralı olan log⁡(a)−log⁡(b)=log⁡(a/b)\log(a) - \log(b) = \log(a/b) özelliğini uygulamak gerekir.
3
E1E2=101,5\frac{E_1}{E_2} = 10^{1,5} değeri denklemde yerine yazılarak M1−M2M_1 - M_2 değeri hesaplanır.
log⁡10(101,5)=1,5(M1−M2)  ⟹  1,5=1,5(M1−M2)  ⟹  M1−M2=1\log_{10}(10^{1,5}) = 1,5(M_1 - M_2) \implies 1,5 = 1,5(M_1 - M_2) \implies M_1 - M_2 = 1 bulunur.
log⁡10(10x)=x\log_{10}(10^x) = x özelliğini kullanarak logaritmik ifadeyi sadeleştirmek gerekir.
4
M12−M22=8M_1^2 - M_2^2 = 8 bağıntısına iki kare farkı özdeşliği uygulanır ve M1−M2=1M_1 - M_2 = 1 değeri yerine yazılır.
(M1−M2)(M1+M2)=8  ⟹  1⋅(M1+M2)=8  ⟹  M1+M2=8(M_1 - M_2)(M_1 + M_2) = 8 \implies 1 \cdot (M_1 + M_2) = 8 \implies M_1 + M_2 = 8 elde edilir.
Büyüklüklerin toplamını bulmak ve denklem sistemini çözmek için iki kare farkı özdeşliği kullanılır.
5
M1−M2=1M_1 - M_2 = 1 ve M1+M2=8M_1 + M_2 = 8 denklemleri ortak çözülerek M1M_1 değeri bulunur.
2M1=9  ⟹  M1=4,52M_1 = 9 \implies M_1 = 4,5 bulunur.
Yok etme metodu kullanılarak aranan birinci depremin büyüklüğü M1M_1 hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları