Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−2x+af(x) = x^2 - 2x + a
g(x)=−x2+4x+bg(x) = -x^2 + 4x + b
fonksiyonlarının grafikleri olan paraboller verilmiştir.

f(x)f(x) parabolünün tepe noktasından g(x)g(x) parabolüne çizilen te��et doğruları birbirine diktir.

Buna göre, aa ile bb gerçel sayıları arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. a−b=214a - b = \frac{21}{4}Cevap
  2. B
    a−b=54a - b = \frac{5}{4}
  3. C
    a−b=134a - b = \frac{13}{4}
  4. D
    a−b=194a - b = \frac{19}{4}
  5. E
    a−b=254a - b = \frac{25}{4}

Cevap

a−b=214a - b = \frac{21}{4} bağıntısıdır.
a−b=214a - b = \frac{21}{4} bağıntısı doğrudur çünkü f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T(1,a−1)T(1, a-1) olarak belirlendikten sonra bu noktadan geçen teğet doğrularının eğimleri çarpımı −1-1 olarak alındığında elde edilen kökler toplamı ve çarpımı ilişkisi bizi doğrudan bu sonuca ulaştırmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−2x+af(x) = x^2 - 2x + a parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.
Parabolün tepe noktasının apsisi r=−−22(1)=1r = -\frac{-2}{2(1)} = 1 ve ordinatı k=f(1)=12−2(1)+a=a−1k = f(1) = 1^2 - 2(1) + a = a - 1 olur. Dolayısıyla tepe noktası T(1,a−1)T(1, a - 1) noktasıdır.
g(x)g(x) fonksiyonuna bu noktadan teğetler çizileceği için başlangıç noktamız tepe noktasıdır.
2
g(x)=−x2+4x+bg(x) = -x^2 + 4x + b parabolüne üzerindeki bir P(t,g(t))P(t, g(t)) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini yazınız.
g′(x)=−2x+4g'(x) = -2x + 4 olduğundan teğetin eğimi m=−2t+4m = -2t + 4 olur. Teğet doğrusunun denklemi y−(−t2+4t+b)=(−2t+4)(x−t)y - (-t^2 + 4t + b) = (-2t + 4)(x - t) olarak bulunur.
Teğet doğrusunun genel denklemini kurmak için türevden yararlanılır.
3
Teğet doğrusunun T(1,a−1)T(1, a - 1) noktasından geçmesi koşulunu uygulayarak tt değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemi elde ediniz.
(a−1)−(−t2+4t+b)=(−2t+4)(1−t)(a - 1) - (-t^2 + 4t + b) = (-2t + 4)(1 - t) ifadesi düzenlendiğinde t2−2t+(5−a+b)=0t^2 - 2t + (5 - a + b) = 0 denklemi elde edilir.
TT noktası teğet doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlamak zorundadır.
4
Teğet doğrularının birbirine dik olması koşulunu (m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1) uygulayarak aa ve bb arasındaki ilişkiyi belirleyiniz.
m1⋅m2=(−2t1+4)(−2t2+4)=4t1t2−8(t1+t2)+16=−1m_1 \cdot m_2 = (-2t_1 + 4)(-2t_2 + 4) = 4t_1 t_2 - 8(t_1 + t_2) + 16 = -1 olur. Bir önceki adımda elde edilen denklemden kökler toplamı t1+t2=2t_1 + t_2 = 2 ve kökler çarpımı t1t2=5−a+bt_1 t_2 = 5 - a + b değerleri yerine yazılırsa: 4(5−a+b)−8(2)+16=−1  ⟹  20−4a+4b=−1  ⟹  4a−4b=21  ⟹  a−b=2144(5 - a + b) - 8(2) + 16 = -1 \implies 20 - 4a + 4b = -1 \implies 4a - 4b = 21 \implies a - b = \frac{21}{4} bağıntısı bulunur.
Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir ve bu durum kök-katsayı ilişkileriyle çözülebilir.

Anahtar Kavram

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğet doğrularının denklemlerinin oluşturulması ve bu doğruların birbirine dik olması durumunda eğimler çarpımının -1'e eşitlenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru