Examkin

Soru

Zorluk: ZorBağımlı ve Bağımsız Olaylar

Bir torbada 33 kırmızı, 44 mavi ve 55 yeşil bilye bulunmaktadır. Bu torbadan çekilen bilye geri atılmaksızın art arda rastgele iki bilye çekiliyor.

Çekilen birinci bilyenin kırmızı veya ikinci bilyenin mavi olma olasılığı en sade hâliyle ab\frac{a}{b} kesridir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevap: 197

Cevap

Doğru cevap 197'dir. İstenen olasılık değeri en sade biçimde 65132\frac{65}{132} olarak hesaplanır ve bu kesrin payı ile paydasının toplamı 197'ye eşit olur.
İstenen durumun olasılığı, bağımlı olaylar kuralı ve olasılık birleşim formülü (P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)) kullanılarak en sade biçimde 65132\frac{65}{132} olarak hesaplanır. Buradan pay ve paydanın toplamı 65+132=19765 + 132 = 197 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Olayları tanımlama ve birleşim formülünü yazma
P(K1∪M2)=P(K1)+P(M2)−P(K1∩M2)P(K_1 \cup M_2) = P(K_1) + P(M_2) - P(K_1 \cap M_2)
Birinci bilyenin kırmızı (veya) ikinci bilyenin mavi olma olasılığı sorulduğu için iki olayın birleşim kümesi olasılık formülü uygulanmalıdır.
2
Birinci bilyenin kırmızı olma olasılığını hesaplama
P(K1)=312=14P(K_1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}
Torbadaki toplam 12 bilyeden 3 tanesi kırmızıdır.
3
İkinci bilyenin mavi olma olasılığını hesaplama
P(M2)=13P(M_2) = \frac{1}{3}
Bilyeler geri konulmadığı için bağımlı olaylardır. İkinci bilyenin mavi olma olasılığı, birincinin mavi olması (P(M1∩M2)=412×311P(M_1 \cap M_2) = \frac{4}{12} \times \frac{3}{11}) ve birincinin mavi olmaması (P(M1′∩M2)=812×411P(M_1' \cap M_2) = \frac{8}{12} \times \frac{4}{11}) durumlarının toplamıdır.
4
Birinci bilyenin kırmızı ve ikinci bilyenin mavi olma olasılığını hesaplama
P(K1∩M2)=111P(K_1 \cap M_2) = \frac{1}{11}
Çekilen bilye geri konulmadığı için olaylar bağımlıdır. Birincinin kırmızı gelme olasılığı 312\frac{3}{12} iken, kalan 11 bilyeden 4'ünün mavi olma olasılığı 411\frac{4}{11} olur.
5
Birleşim olasılığını ve a+ba+b toplamını hesaplama
P(K1∪M2)=65132P(K_1 \cup M_2) = \frac{65}{132} ve a+b=197a+b = 197
Değerler formülde yerine yazıldığında 14+13−111=65132\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{11} = \frac{65}{132} elde edilir. 6565 ve 132132 aralarında asal olduğundan a=65a=65, b=132b=132 ve a+b=197a+b=197 bulunur.

Anahtar Kavram

Bağımlı Olaylar ve Olasılık Birleşim Kuralı

Alternatif Yöntem

İstenen durumun tümleyenini (tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak) hesaplayabiliriz. İstenmeyen durum, birinci bilyenin kırmızı OLMAMASI ve ikinci bilyenin mavi OLMAMASI durumudur. Birinci bilyenin kırmızı olmama olasılığı 912=34\frac{9}{12} = \frac{3}{4}'tür. Bu durumda ilk çekilen bilye mavi ise (olasılık 412\frac{4}{12}), geriye kalan 11 bilyeden 8'i mavi değildir. İlk çekilen yeşil ise (olasılık 512\frac{5}{12}), geriye kalan 11 bilyeden 7'i mavi değildir. Bu yolla istenmeyen durumun olasılığı 412×811+512×711=32+35132=67132\frac{4}{12} \times \frac{8}{11} + \frac{5}{12} \times \frac{7}{11} = \frac{32 + 35}{132} = \frac{67}{132} olarak bulunur. Tüm durumdan çıkardığımızda 1−67132=651321 - \frac{67}{132} = \frac{65}{132} olasılığını elde ederiz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Bağımlı ve Bağımsız Olaylar

Bu konudan daha fazla soru