Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKombinasyon

Bir torbada 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 top bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele 4 top çekiliyor.

Çekilen topların üzerindeki sayılar küçükten büyüğe doğru aa, bb, cc ve dd olarak sıralandığında;
b−a≥2ved−c≥2b - a \geq 2 \quad \text{ve} \quad d - c \geq 2
koşullarını sağlayan kaç farklı {a,b,c,d}\{a, b, c, d\} kümesi seçilebilir?

Cevap: 70

Cevap

Koşulları sağlayan 70 farklı küme seçilebilir.
Seçilen sayıların farkları arasındaki koşulları temsil eden değişkenler oluşturularak problem, negatif olmayan tam sayı denkleminin çözüm sayısını bulma (ayraç yöntemi) problemine dönüştürülmüştür. Bu yöntemle (84)=70\binom{8}{4} = 70 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Seçilecek elemanları küçükten büyüğe a<b<c<da < b < c < d olarak sıralayarak aralarındaki farklar üzerinden yeni değişkenler tanımlamak.
x1=a−1≥0x_1 = a - 1 \geq 0, x2=b−a−1≥0x_2 = b - a - 1 \geq 0, x3=c−b−1≥0x_3 = c - b - 1 \geq 0, x4=d−c−1≥0x_4 = d - c - 1 \geq 0 ve x5=10−d≥0x_5 = 10 - d \geq 0.
Topların numaralarının 1 ile 10 arasında olmasını ve aralarındaki sıralamayı kontrol altında tutmak.
2
Tanımlanan fark değişkenlerinin toplamını hesaplamak.
x1+x2+x3+x4+x5=6x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 6.
Değişkenlerin toplamının sınır değerlere bağlı sabit bir sayı verdiğini göstermek.
3
b−a≥2b - a \geq 2 ve d−c≥2d - c \geq 2 koşullarını değişkenler cinsinden yazıp değişken dönüşümü uygulamak.
x2≥1x_2 \geq 1 ve x4≥1x_4 \geq 1 koşullarını sağlamak için y2=x2−1≥0y_2 = x_2 - 1 \geq 0 ve y4=x4−1≥0y_4 = x_4 - 1 \geq 0 dönüşümü yapılır. Yeni denklem: x1+y2+x3+y4+x5=4x_1 + y_2 + x_3 + y_4 + x_5 = 4 olur.
Denklemi tüm değişkenlerin negatif olmayan tam sayılar (doğal sayılar) olduğu standart forma indirgemek.
4
Elde edilen denklemin doğal sayılardaki çözüm sayısını ayraç (tekrarlı kombinasyon) yöntemi ile hesaplamak.
(4+5−15−1)=(84)=70\binom{4 + 5 - 1}{5 - 1} = \binom{8}{4} = 70.
n=4n=4 özdeş nesneyi r=5r=5 farklı kutuya dağıtma probleminin çözümünü bulmak.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ve Ayraç Yöntemi (Tekrarlı Kombinasyon)
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyon

Bu konudan daha fazla soru