Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKosinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=8 birim|AB| = 8\text{ birim}, ∣AC∣=5 birim|AC| = 5\text{ birim} ve ∣BC∣=7 birim|BC| = 7\text{ birim}'dir. BABA kenarı AA köşesi yönünde uzatılarak bir DD noktası alınıyor. ∣AD∣=3 birim|AD| = 3\text{ birim} olduğuna göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç birimdir?

  1. A
    19\sqrt{19}
  2. 7Cevap
  3. C
    34\sqrt{34}
  4. D
    8
  5. E
    2

Cevap

7
Kosinüs teoremi yardımıyla öncelikle dar açının kosinüsü yarım bulunarak 6060 derece elde edilir. Doğrusallık nedeniyle geniş açı 120120 derece olur. İkinci üçgende kosinüs teoremi uygulandığında, geniş açının kosinüsünün negatif işareti formüldeki eksi ile çarpılarak artıya dönüşür ve kenar uzunluğunun karesi 49, kendisi ise 7 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC üçgeninde BCBC kenarını gören açının kosinüsünü bulmak için kosinüs teoremini yazın.
∣BC∣2=∣AB∣2+∣AC∣2−2⋅∣AB∣⋅∣AC∣⋅cos⁡(BAC^)  ⟹  72=82+52−2⋅8⋅5⋅cos⁡(BAC^)|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{BAC}) \implies 7^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(\widehat{BAC})
AA açısının trigonometrik oranını elde etmek için.
2
Elde edilen denklemi çözerek cos⁡(BAC^)\cos(\widehat{BAC}) değerini hesaplayın ve açının ölçüsünü bulun.
49=64+25−80⋅cos⁡(BAC^)  ⟹  80⋅cos⁡(BAC^)=40  ⟹  cos⁡(BAC^)=12  ⟹  m(BAC^)=60∘49 = 64 + 25 - 80 \cdot \cos(\widehat{BAC}) \implies 80 \cdot \cos(\widehat{BAC}) = 40 \implies \cos(\widehat{BAC}) = \frac{1}{2} \implies m(\widehat{BAC}) = 60^\circ
Komşu bütünler açıyı belirlemek üzere temel dar açıyı bulmak için.
3
B,A,DB, A, D noktalarının doğrusallığını kullanarak komşu bütünler olan DAC^\widehat{DAC} açısının ölçüsünü hesaplayın.
m(DAC^)=180∘−m(BAC^)=180∘−60∘=120∘m(\widehat{DAC}) = 180^\circ - m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
DACDAC üçgeninde kosinüs teoremini uygulayabilmek için aradaki açıyı bulmak.
4
DACDAC üçgeninde CDCD kenarına göre kosinüs teoremini uygulayın.
∣CD∣2=∣AD∣2+∣AC∣2−2⋅∣AD∣⋅∣AC∣⋅cos⁡(DAC^)  ⟹  ∣CD∣2=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡(120∘)|CD|^2 = |AD|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{DAC}) \implies |CD|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)
İstenen ∣CD∣|CD| uzunluğunu formülize etmek için.
5
İkinci bölgedeki kosinüs değerini yerine yazarak ∣CD∣|CD| değerini hesaplayın.
cos⁡(120∘)=−12\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} olduğundan, ∣CD∣2=9+25−30⋅(−12)=34+15=49  ⟹  ∣CD∣=7 birim|CD|^2 = 9 + 25 - 30 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 34 + 15 = 49 \implies |CD| = 7\text{ birim}
Kosinüsün işaretini doğru kullanarak nihai uzunluğu hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla üçgenlerde bilinmeyen kenar ve açıların ardışık hesaplanması
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru