Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

g(x)=f(x2−3x)g(x) = f(x^2 - 3x)

eşitliği sağlanmaktadır.

f(x)f(x) fonksiyonunun grafiğine x=−2x = -2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y=4x−3y = 4x - 3 olduğuna göre, g(x)g(x) fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

  1. A
    −8-8
  2. −4-4Cevap
  3. C
    −3-3
  4. D
    33
  5. E
    44

Cevap

g(x) fonksiyonunun grafiğine x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi -4'tür.
g(x)=f(x2−3x)g(x) = f(x^2 - 3x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimi g′(1)g'(1) değeridir. Zincir kuralına göre g′(x)=f′(x2−3x)⋅(2x−3)g'(x) = f'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3) yazılır. x=1x = 1 için g′(1)=f′(−2)⋅(−1)g'(1) = f'(-2) \cdot (-1) elde edilir. f(x)f(x) fonksiyonuna x=−2x = -2 noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y=4x−3y = 4x - 3 olarak verildiğinden, bu doğrunun eğimi olan 44, f′(−2)f'(-2) değerine eşittir. Buradan g′(1)=4⋅(−1)=−4g'(1) = 4 \cdot (-1) = -4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(x2−3x)g(x) = f(x^2 - 3x) eşitliğinin her iki tarafının xx'e göre türevini alalım.
g′(x)=f′(x2−3x)⋅(2x−3)g'(x) = f'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3) elde edilir.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: Dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevi çarpılır.
2
Teğet doğrusunun eğimini bulmak istediğimiz x=1x = 1 değerini türev fonksiyonunda yerine yazalım.
g′(1)=f′(12−3⋅1)⋅(2⋅1−3)=f′(−2)⋅(−1)g'(1) = f'(1^2 - 3 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1 - 3) = f'(-2) \cdot (-1) bulunur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
3
f(x)f(x) fonksiyonuna x=−2x = -2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi yardımıyla f′(−2)f'(-2) değerini belirleyelim.
y=4x−3y = 4x - 3 doğrusunun eğimi 44 olduğundan, f′(−2)=4f'(-2) = 4 olur.
Teğet doğrusunun eğimi, doğrunun y=mx+ny = mx + n biçimindeki denkleminde xx'in katsayısı olan mm değeridir.
4
Bulduğumuz f′(−2)f'(-2) değerini Adım 2'de elde ettiğimiz eşitlikte yerine yazarak g′(1)g'(1) değerini hesaplayalım.
g′(1)=4⋅(−1)=−4g'(1) = 4 \cdot (-1) = -4 bulunur.
Elde edilen teğet eğimi ve iç türev değerleri çarpılarak nihai eğim hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir. Bileşke fonksiyonların türevinde zincir kuralı [f(u(x))]′=f′(u(x))⋅u′(x)[f(u(x))]' = f'(u(x)) \cdot u'(x) şeklinde uygulanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru