Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArtan ve Azalan Fonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu daima artandır.
g(x)=f(x3−3x2−9x+12)g(x) = f(x^3 - 3x^2 - 9x + 12)
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık [a,b][a, b] olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevap: 2

Cevap

İstenen a+ba + b toplamı 22 değerine eşittir.
Bileşke fonksiyonun türevi olan g′(x)=f′(x3−3x2−9x+12)⋅(3x2−6x−9)g'(x) = f'(x^3 - 3x^2 - 9x + 12) \cdot (3x^2 - 6x - 9) ifadesinde ff daima artan olduğundan ilk çarpan daima pozitiftir. Dolayısıyla g′(x)≤0g'(x) \le 0 olması için ikinci çarpanın 3x2−6x−9≤03x^2 - 6x - 9 \le 0 olması gerekir. Bu eşitsizlik [−1,3][-1, 3] aralığındaki gerçel sayılar için sağlandığından en geniş azalanlık aralığı [−1,3][-1, 3] olur. Buradan a=−1a = -1, b=3b = 3 bulunur ve toplamları 22 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini almak
g′(x)=f′(x3−3x2−9x+12)⋅(3x2−6x−9)g'(x) = f'(x^3 - 3x^2 - 9x + 12) \cdot (3x^2 - 6x - 9)
Fonksiyonun artanlık veya azalanlığını incelemek için türevinin işaretini incelememiz gerekir.
2
Dış fonksiyonun türevinin işaretini belirlemek
f′(u)>0f'(u) > 0 (her uu gerçel sayısı için)
ff fonksiyonu daima artan olarak tanımlandığı için türevi daima pozitiftir.
3
İçteki fonksiyonun türevinin işaret tablosunu oluşturmak
3x2−6x−9≤0  ⟹  x∈[−1,3]3x^2 - 6x - 9 \le 0 \implies x \in [-1, 3]
g′(x)≤0g'(x) \le 0 olmasını sağlayan aralığı bulmak için bu eşitsizliği çözeriz.
4
aa ve bb değerlerini bulup toplamı hesaplamak
a=−1a = -1, b=3  ⟹  a+b=2b = 3 \implies a + b = 2
[−1,3][-1, 3] aralığının uç noktaları aa ve bb olarak tanımlanmıştır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıkta türevinin sıfırdan küçük veya eşit olması ve bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı uygulaması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru