Examkin

Soru

Zorluk: ZorKosinüs Teoremi
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları aa, bb ve cc birimdir. Bu üçgenin kenarları arasında
a2−b2=c2+bca^2 - b^2 = c^2 + bc
bağıntısı bulunmaktadır.

AA köşesinden çizilen iç açıortay doğrusunun uzunluğu 3011\frac{30}{11} birim ve b⋅c=30b \cdot c = 30 olduğuna göre, aa kenarının uzunluğu kaç birimdir?

  1. 91\sqrt{91}Cevap
  2. B
    31\sqrt{31}
  3. C
    11
  4. D
    151\sqrt{151}
  5. E
    2192\sqrt{19}

Cevap

akenarınınuzunlug˘u91birimdir.a kenarının uzunluğu \sqrt{91} birimdir.
Verilen bağıntı kosinüs teoremi ile karşılaştırıldığında tepe açısının 120∘120^\circ olduğu anlaşılır. Üçgenin alanlarının toplamı prensibinden iç açıortay uzunluk formülü nA=bcb+cn_A = \frac{bc}{b+c} olarak elde edilir. Bu formülde verilen değerler yerine konulduğunda b+c=11b+c = 11 bulunur. (b+c)2=b2+c2+2bc(b+c)^2 = b^2+c^2+2bc özdeşliğinden yararlanılarak b2+c2=61b^2+c^2 = 61 hesaplanır. Son olarak, baştaki bağıntıda değerler yerine yazıldığında a=91a = \sqrt{91} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen kenar bağıntısını kosinüs teoremi ile karşılaştırarak A açısını belirlemek.
a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc elde edilir. Kosinüs teoremi formülü olan a2=b2+c2−2bccos⁡(A)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A) ifadesi ile karşılaştırıldığında −2cos⁡(A)=1  ⟹  cos⁡(A)=−1/2-2\cos(A) = 1 \implies \cos(A) = -1/2 bulunur. Buradan A=120∘A = 120^\circ elde edilir.
Üçgenin tepe açısının trigonometrik değerini saptamak.
2
Açıortay uzunluğu ile kenarlar arasındaki ilişkiyi alan paylaşımı yoluyla türetmek.
Alan(ABC)=Alan(ABD)+Alan(ACD)  ⟹  12bcsin⁡(120∘)=12b⋅nAsin⁡(60∘)+12c⋅nAsin⁡(60∘)\text{Alan}(ABC) = \text{Alan}(ABD) + \text{Alan}(ACD) \implies \frac{1}{2}bc\sin(120^\circ) = \frac{1}{2}b \cdot n_A \sin(60^\circ) + \frac{1}{2}c \cdot n_A \sin(60^\circ) yazılır. sin⁡(120∘)=sin⁡(60∘)\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) olduğundan sadeleşme ile bc=nA(b+c)  ⟹  nA=bcb+cbc = n_A(b+c) \implies n_A = \frac{bc}{b+c} bağıntısı bulunur.
Açıortay doğrusunun böldüğü alanlar üzerinden kenarlar arasında bir bağıntı kurmak.
3
Verilen değerleri yerine yazarak b + c toplamını hesaplamak.
bc=30bc = 30 ve nA=3011n_A = \frac{30}{11} değerleri yerleştirildiğinde 3011=30b+c  ⟹  b+c=11\frac{30}{11} = \frac{30}{b+c} \implies b+c = 11 bulunur.
Kenarların toplam değerini elde ederek kareler toplamına geçiş yapmak.
4
Tam kare açılımı kullanarak b2+c2b^2+c^2 değerini bulmak.
(b+c)2=b2+c2+2bc  ⟹  112=b2+c2+2(30)  ⟹  121=b2+c2+60  ⟹  b2+c2=61(b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc \implies 11^2 = b^2 + c^2 + 2(30) \implies 121 = b^2 + c^2 + 60 \implies b^2 + c^2 = 61 elde edilir.
Kosinüs teoremi bağıntısında kullanılacak kareler toplamını hesaplamak.
5
Bulunan değerleri ilk adımdaki bağıntıda yerine yazarak a değerini hesaplamak.
a2=b2+c2+bc  ⟹  a2=61+30=91  ⟹  a=91a^2 = b^2 + c^2 + bc \implies a^2 = 61 + 30 = 91 \implies a = \sqrt{91} birim bulunur.
İstenen kenar uzunluğuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi, Üçgende Alan Paylaşımı ve İç Açıortay İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru