Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 fonksiyonunun grafiği;
* xx ekseni boyunca pozitif yönde aa birim ve yy ekseni boyunca pozitif yönde bb birim ötelendiğinde g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği,
* xx ekseni boyunca negatif yönde bb birim ve yy ekseni boyunca negatif yönde aa birim ötelendiğinde h(x)h(x) fonksiyonunun grafiği
elde ediliyor (aa ve bb pozitif gerçel sayılardır).

g(x)g(x) ve h(x)h(x) fonksiyonlarının tepe noktalarından geçen doğru orijinden geçtiğine ve bu tepe noktaları arasındaki uzaklık 525\sqrt{2} birim olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. 4Cevap
  4. D
    5
  5. E
    6

Cevap

Öteleme miktarlarının çarpımı 4'tür.
Doğru cevap olan 4 değeri; orijinal tepe noktası T(2,−1)T(2, -1) olan parabolün ötelemeler altındaki yeni tepe noktaları T1(2+a,−1+b)T_1(2+a, -1+b) ve T2(2−b,−1−a)T_2(2-b, -1-a)'nın orijinle doğrusal olmasından b−a=3b-a=3 denkleminin, aralarındaki uzaklığın 525\sqrt{2} olmasından ise a+b=5a+b=5 denkleminin elde edilip ortak çözülmesiyle a=1,b=4a=1, b=4 bulunarak a⋅b=4a \cdot b = 4 şeklinde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 fonksiyonunun tepe noktasının koordinatlarını bulmak.
Tepe noktası T(r,k)T(r, k) olmak üzere; r=−−42=2r = -\frac{-4}{2} = 2 ve k=f(2)=22−4(2)+3=−1k = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1 bulunur. Yani orijinal tepe noktası T(2,−1)T(2, -1)'dir.
Parabolün öteleme hareketlerini tepe noktasının koordinatları üzerinden takip etmek kolaylık sağlar.
2
Öteleme kurallarını uygulayarak g(x)g(x) ve h(x)h(x) fonksiyonlarının tepe noktalarını (T1T_1 ve T2T_2) aa ve bb cinsinden yazmak.
g(x)g(x) için aa birim sağa ve bb birim yukarı öteleme yapıldığından T1(2+a,−1+b)T_1(2 + a, -1 + b) olur. h(x)h(x) için bb birim sola ve aa birim aşağı öteleme yapıldığından T2(2−b,−1−a)T_2(2 - b, -1 - a) olur.
Grafik üzerinde sağa ve yukarı ötelemeler koordinat değerlerini artırırken, sola ve aşağı ötelemeler koordinat değerlerini azaltır.
3
Tepe noktalarından geçen doğrunun orijinden geçmesi şartını kullanmak.
Orijin (0,0)(0,0), T1(2+a,−1+b)T_1(2+a, -1+b) ve T2(2−b,−1−a)T_2(2-b, -1-a) noktaları doğrusal olduğundan, bu noktaların eğimleri eşit olmalıdır: b−1a+2=−a−12−b  ⟹  b−1a+2=a+1b−2\frac{b-1}{a+2} = \frac{-a-1}{2-b} \implies \frac{b-1}{a+2} = \frac{a+1}{b-2} elde edilir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında (b−1)(b−2)=(a+1)(a+2)  ⟹  b2−3b+2=a2+3a+2  ⟹  b2−a2−3(a+b)=0  ⟹  (b−a)(b+a)−3(a+b)=0(b-1)(b-2) = (a+1)(a+2) \implies b^2 - 3b + 2 = a^2 + 3a + 2 \implies b^2 - a^2 - 3(a+b) = 0 \implies (b-a)(b+a) - 3(a+b) = 0 bulunur. a,b>0a, b > 0 olduğundan a+b>0a+b > 0'dır. Her iki taraf a+ba+b ile bölünürse b−a=3b - a = 3 bağıntısı elde edilir.
Orijinden geçen bir doğru üzerindeki noktaların ordinatlarının apsislerine oranı doğrunun eğimini verir ve bu oran sabittir.
4
Tepe noktaları arasındaki uzaklığı 525\sqrt{2} birim yapan a+ba+b değerini bulmak.
T1T2=((2+a)−(2−b))2+((−1+b)−(−1−a))2=(a+b)2+(b+a)2=(a+b)2T_1T_2 = \sqrt{((2+a) - (2-b))^2 + ((-1+b) - (-1-a))^2} = \sqrt{(a+b)^2 + (b+a)^2} = (a+b)\sqrt{2} olur. Bu uzaklık 525\sqrt{2} birim verildiğinden (a+b)2=52  ⟹  a+b=5(a+b)\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \implies a+b = 5 elde edilir.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanarak a+ba+b toplamına ulaşılır.
5
b−a=3b - a = 3 ve b+a=5b + a = 5 denklem sistemini çözerek a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplamak.
Denklemler taraf tarafa toplanırsa 2b=8  ⟹  b=42b = 8 \implies b = 4 ve buradan a=1a = 1 bulunur. İstenen çarpım değeri a⋅b=1⋅4=4a \cdot b = 1 \cdot 4 = 4 olarak elde edilir.
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sisteminin ortak çözümüyle öteleme miktarları belirlenir.

Anahtar Kavram

Fonksiyon grafiğinin yatay ve dikey ötelenmesiyle grafik üzerindeki koordinatların değişimi ve iki nokta arasındaki uzaklık ile doğrusallık ilişkilerinin koordinat düzleminde analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

Bu konudan daha fazla soru